[論文レビュー] Critical thickness of an optimum extended surface characterized by uniform heat transfer coefficient

Theodoros Leontiou, Marios M. Fyrillas|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Heat Transfer and Optimization参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一様な対流熱伝達を伴う2次元周期的チャネルにおける拡張表面（フィン）の最適形状を境界要素法および一般化されたシュワーツ＝クリストッフェル変換を用いて解く逆設計問題として調査している。最適フィンは無限に薄く、フィンが熱伝達を向上させるのはBi × 厚さ < 1.64 であるとき、すなわち臨界ビオ数Bi_c ≈ 16.4 未満のときのみであることが判明した。これはフィン長や基部厚さに依存しない。

ABSTRACT

We consider the heat transfer problem associated with a periodic array of extended surfaces (fins) subjected to convection heat transfer with a uniform heat transfer coefficient. Our analysis differs from the classical approach as (i) we consider two-dimensional heat conduction and (ii) the base of the fin is included in the heat transfer process. The problem is modeled as an arbitrary two-dimensional channel whose upper surface is flat and isothermal, while the lower surface has a periodic array of extensions/fins which are subjected to heat convection with a uniform heat transfer coefficient. Using the generalized Schwarz-Christoffel transformation the domain is mapped onto a straight channel where the heat conduction problem is solved using the boundary element method. The boundary element solution is subsequently used to pose a shape optimization problem, i.e. an inverse problem, where the objective function is the normalized Shape Factor and the variables of the optimization are the parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. Numerical optimization suggests that the optimum fin is infinitely thin and that there exists a critical Biot number that characterizes whether the addition of the fin would result in an enhancement of heat transfer. The existence of a critical Biot number was investigated for the case of rectangular fins. {\bf It is concluded that a rectangular fin is effective if its thickness is less than} $1.64 k/h$, where the $h$ is the heat transfer coefficient and $k$ is the thermal conductivity. This result is independent of both the thickness of the base and the length of the fin.

研究の動機と目的

• 一様な対流熱伝達を伴う2次元周期的チャネルにおける最大熱伝達を実現する最適なフィン形状を特定すること。
• 等温条件下でフィンが熱伝達を低下させるというパラドックスを解消し、臨界ビオ数の閾値を特定すること。
• フィンの長さや基部厚さに依存しない、ビオ数とフィン厚さの関数としての矩形フィンの有効性を調査すること。
• 境界要素法と複素変数変換を用いて、形状最適化問題を逆設計タスクとして定式化・解くこと。
• フィン長や基部厚さに依存しない、次元なしのフィン有効性基準を確立すること。

提案手法

• 等温上部表面および周期的フィンを有する下部表面を有する周期的チャネルにおける2次元熱伝導問題をモデル化する。
• 一般化されたシュワーツ＝クリストッフェル変換を用いて、複雑なフィン幾何形状を直線的チャネルに写像し、解析的取り扱いを可能にする。
• 変換された領域において境界要素法を用いて定常状態熱伝導のラプラス方程式を解く。
• 形状最適化を非線形計画問題として定式化し、正規化された形状要因を最大化することを目的とする。
• 一般化されたシュワーツ＝クリストッフェル変換のパrameterを用いてフィン幾何形状をパrameter化し、数値最適化を可能にする。
• 特に矩形フィンのケースにおいて、有限差分法および有限要素法を用いた数値検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィンを熱伝達表面に追加することで、全体の熱伝達率が向上するのはどのような条件下か？
• RQ2 基部が熱伝達プロセスに含まれる2次元周期的チャネルにおいて、一様な対流を伴う最適なフィン形状は何か？
• RQ3 矩形フィンの有効性はその長さや基部厚さに依存するのか、それとも普遍的な厚さ基準が存在するのか？
• RQ4 フィンが熱伝達を向上させるか低下させるかを決定する臨界ビオ数は何か？
• RQ5 フィン有効性はビオ数にどのように依存し、最大でどの程度の有効性が達成可能か？

主な発見

• 最大熱伝達を実現する最適フィン形状は無限に薄いものであり、一様な熱伝達係数条件下ではフィン厚さを最小限に抑えるべきであることを示唆している。
• フィンが熱伝達を向上させるのは、ビオ数がこの臨界値未満である場合に限られる、という臨界ビオ数が存在する。
• 矩形フィンの場合、Bi × 厚さ < 1.64 で有効性が最大化され、厚さが0.1（次元なし単位）のときの臨界値はBi_c ≈ 16.4 である。
• 臨界厚さ条件は次元的な基準に翻訳され、フィン厚さ < 1.64 × k / h となる。これはフィン長や基部厚さに依存しない。
• 最大のフィン有効性はBi = 0のときであり、その値は2H_f + 1である。ここでH_fは次元なしフィン長である。
• 有限差分法および有限要素法による数値検証により、境界要素法および最適化結果の正確性が確認された。