[論文レビュー] Criticality and self-organization in branching processes: application to natural hazards

Álvaro Corral, Francesc Font-Clos|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 66被引用数 16

ひとこと要約

本論文は、地震などの自然災害をモデル化するために分岐過程理論を適用し、エネルギー放出のべき乗則分布が、システムが絶滅と爆発の間の臨界状態にある場合にのみ出現することを示している。確率生成関数と自己組織的臨界性を用いて、このようなシステムが自然に臨界状態へと進化することを示し、実際の災害で観察されるスケール不変で裾の重い統計的性質を説明している。

ABSTRACT

The statistics of natural catastrophes contains very counter-intuitive results. Using earthquakes as a working example, we show that the energy radiated by such events follows a power-law or Pareto distribution. This means, in theory, that the expected value of the energy does not exist (is infinite), and in practice, that the mean of a finite set of data in not representative of the full population. Also, the distribution presents scale invariance, which implies that it is not possible to define a characteristic scale for the energy. A simple model to account for this peculiar statistics is a branching process: the activation or slip of a fault segment can trigger other segments to slip, with a certain probability, and so on. Although not recognized initially by seismologists, this is a particular case of the stochastic process studied by Galton and Watson one hundred years in advance, in order to model the extinction of (prominent) families. Using the formalism of probability generating functions we will be able to derive, in an accessible way, the main properties of these models. Remarkably, a power-law distribution of energies is only recovered in a very special case, when the branching process is at the onset of attenuation and intensification, i.e., at criticality. In order to account for this fact, we introduce the self-organized critical models, in which, by means of some feedback mechanism, the critical state becomes an attractor in the evolution of such systems. Analogies with statistical physics are drawn. The bulk of the material presented here is self-contained, as only elementary probability and mathematics are needed to start to read.

研究の動機と目的

• 自然災害（地震など）におけるエネルギーのべき乗則分布の起源を分岐過程を用いて説明すること。
• このような裾の重い統計的性質が、分岐過程が絶滅と爆発の間の臨界状態にある場合にのみ生じることを示すこと。
• 複雑なシステムが微調整なしに自然に臨界状態へと進化する仕組みとして、自己組織的臨界性を導入すること。
• 初等的な確率論と生成関数を用いて、主要な統計的性質を自立的かつアクセス可能な形で導出すること。
• 統計物理学との類似性を示し、フィードバック機構が自然システムにおける臨界性の維持に果たす役割を強調すること。

提案手法

• 地震の余震系列とエネルギー伝播をモデル化するために、ガルトン＝ウォーソンの分岐過程を用いる。
• 確率生成関数を適用して、絶滅確率と分岐イベントのサイズ分布を導出する。
• 平均子孫数が1に等しい臨界分岐条件を導出し、これによりべき乗則的挙動が生じることを示す。
• システムを臨界状態へと導くフィードバック機構を備えた自己組織的臨界性（SOC）モデルを導入する。
• Gutenberg-Richterの法則をマグニチュードからエネルギーへ変換する際に、関係式 $ E \propto 10^{3M/2} $ を用い、$ D_E(E) \propto E^{-\alpha} $ とし、$ \alpha = 1 + \frac{2b}{3} $ を得る。
• スターリングの近似を用いて、カタラン数と分岐過程のサイズの漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ自然災害のエネルギーが特徴的なスケールを持たないべき乗則分布に従うのか？
• RQ2 分岐過程がどのような条件下でイベントサイズのべき乗則分布を生じるのか？
• RQ3 外部の調整なしに、システムが自然に臨界状態へと進化する仕組みは何か？
• RQ4 フィードバック機構が複雑なシステムにおける臨界性の維持に果たす役割は何か？
• RQ5 マグニチュードからエネルギーへの変換が観察される統計にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 地震のエネルギー分布はべき乗則 $ D_E(E) \propto E^{-\alpha} $ に従い、$ \alpha = 1 + \frac{2b}{3} $ であり、$ b \approx 1 $ より $ \alpha \approx \frac{5}{3} $ となる。
• べき乗則的挙動は、分岐過程の平均子孫数が正確に1である臨界状態にある場合にのみ出現する。
• $ p \leq 1/2 $ の場合、分岐過程の全サイズ分布の和は1となり、絶滅が確実であることを示す。一方、$ p > 1/2 $ の場合、和は $ (q/p)^2 $ となり、無限大の成長確率が非ゼロであることを示す。
• 臨界分岐過程のサイズ分布を導出するために、カタラン数の生成関数 $ h(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} $ が用いられる。
• スターリングの近似 $ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n $ は、ガンマ分布と中心極限定理を用いて確率論的に導出される。
• 理論的にはスケール不変性と無限大の平均エネルギーを示し、標本平均が真の母平均の信頼できる推定値でないことを示す。