[論文レビュー] Cross-Dimensional Linear Systems

Daizhan Cheng, Zequn Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、半テンソル積（STP）を用いて行列およびベクトルの演算を一般化することで、任意かつ変化する次元を有する動的システムを扱えるようにする、クロス次元線形システム（CDLS）を導入する。行列はM積に関してモノイドをなし、ベクトルはV積に関してハイブリッドベクトル空間をなし、同値類の商空間上で離散的および連続的時間システムの可制御性と可観測性に関する結果が得られる。

ABSTRACT

Semi-tensor product(STP) or matrix (M-) product of matrices turns the set of matrices with arbitrary dimensions into a monoid $({\cal M},\ltimes)$. A matrix (M-) addition is defined over subsets of a partition of ${\cal M}$, and a matrix (M-) equivalence is proposed. Eventually, some quotient spaces are obtained as vector spaces of matrices. Furthermore, a set of formal polynomials is constructed, which makes the quotient space of $({\cal M},\ltimes)$, denoted by $(Σ, \ltimes)$, a vector space and a monoid. Similarly, a vector addition (V-addition) and a vector equivalence (V-equivalence) are defined on ${\cal V}$, the set of vectors of arbitrary dimensions. Then the quotient space of vectors, $Ω$, is also obtained as a vector space. The action of monoid $({\cal M},\ltimes)$ on ${\cal V}$ (or $(Σ, \ltimes)$ on $Ω$) is defined as a vector (V-) product, which becomes a pseudo-dynamic system, called the cross-dimensional linear system (CDLS). Both the discrete time and the continuous time CDLSs have been investigated. For certain time-invariant case, the solutions (trajectories) are presented. Furthermore, the corresponding cross-dimensional linear control systems are also proposed and the controllability and observability are discussed. Both M-product and V-product are generalizations of the conventional matrix product, that is, when the dimension matching condition required by the conventional matrix product is satisfied they coincide with the conventional matrix product. Both M-addition and V-addition are generalizations of conventional matrix addition. Hence, the dynamics discussed in this paper is a generalization of conventional linear system theory.

研究の動機と目的

• 任意かつ変化する次元の空間で動作する動的システムのための数学的枠組みを構築すること。
• 従来の行列およびベクトルの演算（積、和）を、次元が異なる行列およびベクトルに対しても一般化すること。
• 行列およびベクトルの同値関係を定義し、それらが商空間を形成し、次元が変化するシステムを統一的に取り扱えるようにすること。
• 形式的多項式および商モノイドを用いて、クロス次元線形システムを擬似動的システムとして定式化すること。
• 離散的および連続的時間のクロス次元線形制御システムの可制御性および可観測性の一般条件を調査すること。

提案手法

• 任意の次元の行列に対して定義される二項演算としてのM積（半テンソル積）を定義し、$({\rm\bf M}, \ltimes)$ としてモノイドを形成する。
• 行列の部分集合におけるM加法を導入し、ハイブリッドベクトル空間を形成し、M同値関係を定義して商空間 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$ を構成する。
• 行列 $\mathcal{M}$ がベクトルの集合 $\mathcal{V}$ に作用するV積を定義し、擬似動的システムを形成する。
• 任意の次元のベクトルにおけるV加法およびV同値関係を定義し、商空間 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$ を構成する。この空間はベクトル空間である。
• 形式的多項式 $\mathcal{P}_{\mathcal{M}}$ および $\mathcal{P}_{\Sigma}$ を用いて、すべての行列および商行列空間をハイブリッドベクトル空間に統合する。
• 離散的および連続的時間のCDLSをそれぞれ $\vec{x}(t+1) = \langle A \rangle \vec{\ltimes} \vec{x}(t)$ および $\vec{x}(t) = e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$ として定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の行列代数の制約を超えて、任意かつ変化する次元を扱えるように、行列およびベクトルの演算をどのように一般化できるか？
• RQ2 行列およびベクトルの同値関係によって形成される商空間の構造は何か？ そして、次元フリーな空間における線形代数を支えるにはどうなるか？
• RQ3 クロス次元線形システムはどのように擬似動的システムとしてモデル化できるか？ また、軌道の有限計算可能性の条件は何か？
• RQ4 連続的時間のクロス次元線形システムにおける可制御性および可観測性の一般条件は何か？
• RQ5 この理論的枠組みは、ネットワーク化システムや遺伝的制御ネットワークなどの実用的次元変動システムへどのように拡張可能か？

主な発見

• 任意の次元の行列の集合は、M積（半テンソル積）に関してモノイドを形成し、従来の行列積を一般化する。
• M同値関係による行列の商空間 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$ はベクトル空間であり、次元フリーな行列クラスにおける線形代数の実現を可能にする。
• V同値関係によるベクトルの商空間 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$ はベクトル空間であり、次元フリーなベクトル演算をサポートする。
• 離散的時間CDLSの軌道は $\vec{x}(t) = \langle A \rangle^{t} \vec{x}_0$ で与えられ、連続的時間系では $\vec{x}(t) = \overline{e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau}$ で与えられる。ここで $\langle A \rangle$ が次元有界であれば、これは有限計算可能である。
• システム (187) が可制御かつ可観測であることが示され、制御設計への枠組みの有効性が裏付けられる。