[論文レビュー] Cross Product Bialgebras - Part I

Yuri Bespalov, Bernhard Drabant|ArXiv.org|Feb 5, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コサイクルを伴わないクロス積双代数の普遍的枠組みを、射影と埋め込みを用いて導入し、既知の構成（双積、ダブルクロス積、双交叉積など）を統一する。さらに、モジュラーなホップデータ記述を提供し、既存のタイプを回復するとともに、特にホップ双モジュラーのbraided monoidal categoryにおける新しいコサイクルを伴わない双代数族を生成する。この枠組みにおいて、マジドのダブル双積はテンソル積双代数のねじれとして現れる。

ABSTRACT

The subject of this article are cross product bialgebras without co-cycles. We establish a theory characterizing cross product bialgebras universally in terms of projections and injections. Especially all known types of biproduct, double cross product and bicross product bialgebras can be described by this theory. Furthermore the theory provides new families of (co-cycle free) cross product bialgebras. Besides the universal characterization we find an equivalent (co-)modular description of certain types of cross product bialgebras in terms of so-called Hopf data. With the help of Hopf data construction we recover again all known cross product bialgebras as well as new and more general types of cross product bialgebras. We are working in the general setting of braided monoidal categories which allows us to apply our results in particular to the braided category of Hopf bimodules over a Hopf algebra. Majid's double biproduct is seen to be a twisting of a certain tensor product bialgebra in this category. This resembles the case of the Drinfel'd double which can be constructed as a twist of a specific cross product.

研究の動機と目的

• コホモロジーのないクロス積双代数を、圏論的射影と埋め込みを用いて普遍的に特徴付けること。
• 既知の双代数構成（双積、ダブルクロス積、双交叉積など）を、一つの理論的枠組みに統一すること。
• 既存のクロス積双代数を一般化・拡張するモジュラーなホップデータ記述を導入すること。
• この理論をbraided monoidal category、特にホップ代数上のホップ双モジュラーの圏に適用すること。
• マジドのダブル双積がこの圏的設定において、テンソル積双代数のねじれとして得られることを示すこと。

提案手法

• 普遍的性質に立脚し、射影と埋め込みを用いてクロス積双代数を圏論的に特徴付ける。
• ホップデータ形式を導入し、整合性のある代数的および余代数的データとして双代数構造を記述する。
• 理論をbraided monoidal categoryに適用し、古典的設定を超えて一般化を可能にする。
• ホップ双モジュラーの構造を活用して、テンソル積のねじれによって新しい双代数を定義する。
• 既知の双代数（例：ねじれによるドリンフェルトの双代数）を回復し、コサイクルを伴わない新しい双代数族を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジーのないクロス積双代数を、圏論的射影と埋め込みを用いてどのように普遍的に特徴付けることができるか？
• RQ2 普遍的射影／埋め込み枠組みと、既知の双代数構成（双積、双交叉積など）との関係は何か？
• RQ3 モジュラーなホップデータ記述は、既存のクロス積双代数を統一的かつ一般化的に記述できるか？
• RQ4 これらの構成は、特にホップ双モジュラーの圏において、どのように振る舞うか？
• RQ5 マジドのダブル双積は、この枠組み内において、テンソル積双代数のねじれとして理解できるか？

主な発見

• 射影と埋め込みによる普遍的特徴付けは、すべてのコサイクルを伴わないクロス積双代数に洗練された圏論的基盤を提供する。
• ホップデータ形式は、同等でモジュラーな記述を提供し、既知の双代数を回復するとともに、新しい双代数を生成する。
• 既知のすべてのクロス積双代数タイプ（双積、ダブルクロス積、双交叉積）が、この単一の枠組みに統合される。
• ホップ双モジュラーの圏において、ダブル双積は特定のテンソル積双代数のねじれとして示される。
• 理論により、従来のクラスを超えた新しいコサイクルを伴わない双代数族の構成が可能になる。