[論文レビュー] Cross Product Quantisation, Nonabelian Cohomology And Twisting Of Hopf Algebras

Shahn Majid|ArXiv.org|Nov 30, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、双交叉積ホップ代数を用いた、同次空間上のマッキーの量子化の一般化を提示する。これにより、非アーベルコhomology $\mathcal{H}^2(H,A)$ と呼ばれる、ホップ代数の拡張を分類するものとなり、これはトポロジカルな量子数として機能する。2コサイクルとドリンフェルトのねじれの双対性を確立し、この枠組みにおいて量子主バンドルが自然に生じることを示し、量子重力や $q$-deformed 幾何学への応用が得られる。

ABSTRACT

This is an introduction to work on the generalisation to quantum groups of Mackey's approach to quantisation on homogeneous spaces. We recall the bicrossproduct models of the author, which generalise the quantum double. We describe the general extension theory of Hopf algebras and the nonAbelian cohomology spaces $\CH^2(H,A)$ which classify them. They form a new kind of topological quantum number in physics which is visible only in the quantum world. These same cross product quantisations can also be viewed as trivial quantum principal bundles in quantum group gauge theory. We also relate this nonAbelian cohomology $\CH^2(H,\C )$ to Drinfeld's theory of twisting.

研究の動機と目的

• 双交叉積構成を用いて、ホップ代数 $H$ の作用を伴う同次空間 $M$ 上のマッキーの量子化を、量子群へ一般化すること。
• 非アーベルコhomology $\mathcal{H}^2(H,A)$ を用いてホップ代数の拡張を分類し、量子系における新しいトポロジカルな量子数を導入すること。
• 2コサイクルのコホモロジー構造を通じて、量子主バンドルと量子群ゲージ理論におけるねじれを統一すること。
• 2コサイクルの理論とドリンフェルトのねじれ構成を結びつけることで、より深い代数的・物理的意味を明らかにすること。
• 標準的な群コホモロジーを、非可換ホップ代数、特に $H^2(H,\mathbb{C})$ の双対形式を含めて拡張すること。

提案手法

• ホップ代数 $H$ の作用を伴う同次空間 $M$ 上の量子化をモデル化するため、双交叉積構成 $\mathbb{C}(M) >\!\!\triangleleft H$ を用いる。
• ホップ代数上の $n$-コチェーンを、畳み込み可逆な線形汎関数 $\psi: H^{\tens n} \to \mathbb{C}$ として定義し、余単位条件を満たすものとする。
• 交替的な $\psi$ 及びその逆のテンソル積を用いたコバウンダリー作用素 $\partial$ を定義し、群コホモロジーを一般化する。
• コチェーンによるコサイクルの変換則を導出する：$\psi^\gamma = (\partial_+ \gamma) \psi (\partial_- \gamma^{-1})$。$n \geq 3$ の場合、フィードバック制約の下で有効である。
• コサイクルの双対形式を用いてホップ代数のねじれを定義する：$h \cdot_\chi g = \chi(h\o \tens g\o) h{}_{(2)} g{}_{(2)} \chi^{-1}(h\th \tens g\th)$。
• 2コサイクルが中心拡張（異常）と双対準三角的構造の両方と関係することを示し、量子群の変形理論と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双交叉積ホップ代数を用いて、マッキーの不変性系を量子群へどのように一般化できるか？
• RQ2 非アーベルコホモロジー $\mathcal{H}^2(H,A)$ は、ホップ代数の拡張を分類する上で果たす役割と、物理的解釈は何か？
• RQ3 ホップ代数上の2コサイクルは、ドリンフェルトのねじれ構成および量子群の変形とどのように関係するか？
• RQ4 これらのコホモロジー的構造は、非可換な設定下で、量子主バンドルとゲージ理論をどのように統一するか？
• RQ5 コホモロジー的枠組みは、$U(g)$ や $\mathbb{C}G$ のような非可換ホップ代数へ、標準的群コホモロジーをどのように拡張できるか？

主な発見

• コホモロジー空間 $\mathcal{H}^2(H,A)$ はホップ代数の拡張を分類し、量子系における新しい種類のトポロジカルな量子数として機能する。
• 同次空間上の積構造の量子化は、作用が非線形制約を満たす場合に限りホップ代数となる。これは、曲がった量子幾何におけるアインシュタイン方程式の「おもちゃ版」として解釈できる。
• 量子二重 $D(G)$ は、双交叉積構成の特別な場合であり、$G$ 内の共共役類上での運動に対応する。
• 2コサイクル $\chi$ を用いたホップ代数のねじれにより、新しいホップ代数 $H_\chi$ が得られ、積と余元が変更されるが、準三角的構造は保存される。
• 2コサイクルの双対形式は、中心拡張（異常）と双対準三角的構造の両方を提供するメカニズムを提供し、変形理論と結びつく。
• ホップ代数 $H = \mathbb{C}(G)$ の場合、コホモロジーの道具立ては標準的群コホモロジーに還元され、古典的結果と整合性が確認される。