[論文レビュー] Cross-variation of Young integral with respect to long-memory fractional Brownian motions

Ivan Nourdin, Rola Zintout|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Hurst指数 $ H > \frac{1}{2} $ の長-memory分数 Browm運動（fBm）に関するYoung積分として定義される2次元過程の共変動の漸近的挙動を調査する。$ H \leq \frac{3}{4} $ の場合、正規化された共変動は混合正規分布に収束する。一方、$ H > \frac{3}{4} $ の場合、2つの独立なRosenblatt過程の差分で表される非中央極限定理が得られ、長記憶領域における共変動の非正規極限定理が確立される。

ABSTRACT

We study the asymptotic behaviour of the cross-variation of two-dimensional processes having the form of a Young integral with respect to a fractional Brownian motion of index $H extgreater{} 1/ 2$. When $H$ is smaller than or equal to $3 / 4$, we show asymptotic mixed normality. When $H$ is strictly bigger than $3/4$, we obtain a limit that is expressed in terms of the difference of two independent Rosenblatt processes.

研究の動機と目的

• 2次元のfBmによって駆動される過程の増分の積の和として定義される共変動過程 $ J_n(t) $ の漸近的挙動を分析すること。
• Hurstパラメータ $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ の異なる領域、特に $ H \leq \frac{3}{4} $ と $ H > \frac{3}{4} $ の場合に $ J_n(t) $ の極限定理を確立すること。
• fBmによって駆動される確率微分方程式における帰無仮説 $ \sigma^{1,2} = \sigma^{2,1} = 0 $ の検定を含む統計的推論の理論的基盤を提供すること。
• 特に $ H > \frac{3}{4} $ の非正規領域において、既存のパワー変動に関する結果を2次元fBm設定における共変動への拡張すること。

提案手法

• 過程 $ X_t $ は、$ H > \frac{1}{2} $ の2次元分数 Browm運動 $ B = (B^{(1)}, B^{(2)}) $ に関するYoung積分としてモデル化され、Hölder連続性によりパスごとの積分可能性が保証される。
• 共変動 $ J_n(t) $ は、被積分関数および増分の増分展開に基づき、3つの成分 $ A_n(t) $、$ S_n(t) $ および剰余項 $ R_{1,n}(t), R_{2,n}(t) $ に分解される。
• 重み付き確率和の技法（[3] 参照）を用い、モーメント推定および $ L^1 $ 収束および法則収束を組み合わせて漸近的挙動を分析する。
• $ H \leq \frac{3}{4} $ の場合、独立なブラウン運動を用いた中心極限定理の議論により極限が導かれる。$ H > \frac{3}{4} $ の場合、fBm成分の線形結合から構成されるRosenblatt過程が極限に現れる。
• 証明は、共変動を2次および共変動項に分解することに依拠し、$ a_n S_n(t) $ の収束を示すために命題3.8の適用が鍵となる。ここで $ a_n $ は $ H $ に依存する正規化定数である。
• $ n^{2H-1} \sum (\Delta B^i_{k/n})^2 \to t $ 出来するほとんど確実な収束を用い、Lemma 3.7 を適用することで2次変動項のほとんど確実な収束が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のYoung積分が長記憶分数 Browm運動によって駆動される場合、共変動過程 $ J_n(t) $ の漸近的分布は何か？
• RQ2 Hurst指数 $ H $ が閾値 $ \frac{3}{4} $ を越えると、$ J_n(t) $ の極限挙動はどのように変化するか？
• RQ3 $ H > \frac{3}{4} $ の場合に非中央極限定理を確立できるか。もし可能であれば、極限過程は何か？
• RQ4 どの正規化 $ a_n $ を用いれば $ a_n J_n(t) $ の法則収束が成立するか。また、その正規化は $ H $ にどのように依存するか？
• RQ5 共変動を用いて、fBmによって駆動されるSDEにおける統計的仮説 $ \sigma^{1,2} = \sigma^{2,1} = 0 $ をどのように検定できるか？

主な発見

• $ \frac{1}{2} < H \leq \frac{3}{4} $ の場合、正規化された共変動 $ n^{2H-1} J_n(t) $ は確率的に $ \int_0^t (\sigma^{1,1}_s \sigma^{1,2}_s + \sigma^{2,1}_s \sigma^{2,2}_s) ds $ に収束し、混合正規分布に収束する中央極限定理が確立される。
• $ H > \frac{3}{4} $ の場合、正規化された共変動 $ a_n J_n(t) $ は法則収束して $ \int_0^\cdot \sigma^{1,1}_s \sigma^{2,2}_s dZ_s $ に収束する。ここで $ Z $ は $ \beta^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{2}}(B^{(1)} + B^{(2)}) $ および $ \beta^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{2}}(B^{(1)} - B^{(2)}) $ から構成される2つの独立なRosenblatt過程の差分である。
• 正規化 $ a_n $ は、$ H \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) $ の場合 $ n^{2H - 1/2} $、$ H = \frac{3}{4} $ の場合 $ \frac{n}{\sqrt{\log n}} $、$ H \in (\frac{3}{4}, 1) $ の場合 $ n $ である。これは、正規分布から非正規分布への遷移を反映している。
• 被積分関数 $ \sigma $ のHölder連続性の仮定の下で、剰余項 $ R_{1,n}(t) $ および $ R_{2,n}(t) $ は $ L^1 $ で消えるため、極限挙動に影響しない。
• $ \sigma^{1,2} = \sigma^{2,1} = 0 $ の場合、共変動は $ a_n S_n(t) $ に簡略化され、極限は $ \Delta B^1_{k/n} \Delta B^2_{k/n} $ の共変動項に起因し、高H領域ではRosenblatt過程に帰着する。
• 本結果は、パワー変動に関する先行研究を2次元fBm設定における共変動への拡張したものであり、特に $ H > \frac{3}{4} $ の困難な領域を非中央極限定理理論を用いて解決した。