[論文レビュー] Cross-wired lamplighter groups

Yves Cornulier, David Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準的ラムプライト群 $F\wr\mathbb{Z}$ の一般化としてクロスワイヤード・ラムプライト群を導入し、Diestel-Leader図形 $\mathrm{DL}(m,n)$ の等長群の閉かつコ compact な部分群を特徴づける。すべての such 群が、ある別の Diestel-Leader 図形上で推移的に作用する指数 2 の部分群を持つことを証明し、$\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ のラティスが必ずしもラムプライト群ではないこと、および特定の自己同相似部分群を用いた半直積による代数的特徴づけを提供する。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a locally compact group to be isomorphic to a closed cocompact subgroup in the isometry group of a Diestel-Leader graph. As a consequence of this condition, we see that every cocompact lattice in the isometry group of a Diestel-Leader graph admits a transitive, proper action on some other Diestel-Leader graph. We also give some examples of lattices that are not virtually lamplighters. This implies the class of discrete groups commensurable to lamplighter groups is not closed under quasi-isometries and, combined with work of Eskin, Fisher and Whyte, gives a characterization of their quasi-isometry class.

研究の動機と目的

• 任意の $m,n \geq 2$ に対して、$\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ の閉かつコ compact な部分群を特徴づけること。
• このような部分群がラティスとして生じる条件を特定し、それらが標準的ラムプライト群と準同型であるかどうかを同定すること。
• $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ のラティスの代数的特徴づけを、標準的な wreath 積構造を超えて提供すること。
• $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ の任意のコ compact ラティスが、ある他の Diestel-Leader 図形上で推移的かつ適切な作用を持つことを示すこと。
• ラムプライト群と可換な群のクラスが準同型写像に関して閉じていないことを示すために、それらが本質的にラムプライト群でないラティスの例を構成すること。

提案手法

• Diestel-Leader 図形 $\mathrm{DL}(m,n)$ が、$n+1$-正則木の積上の Busemann 関数のレベル集合としての構造を用いる。
• $\mathrm{DL}(m,n)$ の等長写像を分析し、積の自己同型の制限である正の等長写像と、フリップとの合成である非正の等長写像を区別する。
• 閉かつコ compact な部分群 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ に対して、$H$ を正規で非コンパクトな開部分群とする半直積分解 $\Gamma = H \rtimes \langle t \rangle$ を確立する。
• 部分群 $L, L' \subset H$ を定義し、$tLt^{-1}$ と $t^{-1}L't$ がそれぞれ指数 $m$ および $n$ の部分群であるようにし、$\bigcup_k t^{-k}Lt^k$ と $\bigcup_k t^kL't^{-k}$ が $H$ を尽くすようにする。
• $L \cap L'$ がコンパクトで、$LL' = H$ であることを示し、$L \backslash H / L'$ が一点であることを示す。
• $H$ の自己同相似構造を用いて、$\Gamma$ が $\mathrm{DL}(m,n)$ 上に核 $\bigcap_k t^{-k}(L \cap L')t^k$ を持つ適切かつ推移的な作用を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $m,n \geq 2$ に対して、$\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ の閉かつコ compact な部分群はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ の任意のコ compact ラティスは、別の Diestel-Leader 図形上で推移的に作用できるか？
• RQ3 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ に、本質的にラムプライト群 $F\wr\mathbb{Z}$ と同型でないラティスは存在するか？
• RQ4 ラムプライト群と可換な群のクラスは、準同型写像に関して閉じているか？
• RQ5 $m \neq n$ のとき、$\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(m,n))$ のラティスの代数的構造は何か？

主な発見

• 任意の閉かつコ compact な部分群 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ は、$\Gamma/H \cong \mathbb{Z}$ を満たす唯一の開正規部分群 $H$ を持ち、$H$ は二つの部分群 $L$ と $L'$ の共轭の和集合として分解される。これらの部分群は特定の指数条件を満たす。
• $L \backslash H / L'$ が一点であり、$L \cap L'$ がコンパクトであることは、$H$ に高次元の対称性と自己同相似構造があることを示している。
• $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ の任意のコ compact ラティス $\Gamma$ は、$\Gamma$ がラムプライト群でなくても、ある他の Diestel-Leader 図形 $\mathrm{DL}(n,n)$ 上に適切かつ推移的な作用を持つ。
• $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ には、本質的にラムプライト群でないラティスが存在し、ラムプライト群と可換な群のクラスが準同型写像に関して閉じていないことを示している。
• $\Gamma$ が離散的であるとき、パラメータ $m$ と $n$ は等しくならなければならない。よって $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ であり、$\Gamma$ は有限生成である。
• クロスワイヤード・ラムプライト群の例として、正の特性を持つ局所体上のヘイゼンベルク群から得られる線形群があり、これらは再帰的に有限である。非線形例は、収縮自己同型を持つ冪零群から構成可能である。