[論文レビュー] Crossed modules and quantum groups in braided categories

Yu . N. Bespalov|ArXiv.org|Oct 12, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、braided category 内の Hopf 代数上の crossed modules を導入し、その圏が braided double construction を形成することを確立する。これは、Majid の bosonization および Radford の定理を braided 設定へ一般化し、量子 braided 群と crossed modules の間で、Hopf 代数の braided category 内のモジュール圏の double 圏への full subcategory 埋め込みを通じて関連付ける。

ABSTRACT

Let $A$ be a Hopf algebra in a braided category $\cal C$. Crossed modules over $A$ are introduced and studied as objects with both module and comodule structures satisfying a compatibility condition. The category $\DY{\cal C}^A_A$ of crossed modules is braided and is a concrete realization of a known general construction of a double or center of a monoidal category. For a quantum braided group $(A,\overline A,{\cal R})$ the corresponding braided category of modules ${\cal C}_{\cO{A,\overline A}}$ is identified with a full subcategory in $\DY{\cal C}_A^A$. The connection with cross products is discussed and a suitable cross product in the class of quantum braided groups is built. Majid--Radford theorem, which gives equivalent conditions for an ordinary Hopf algebra to be such a cross product, is generalized to the braided category. Majid's bosonization theorem is also generalized.

研究の動機と目的

• braided category 内の Hopf 代数上の crossed modules を定義・研究し、モジュール構造とコモジュール構造を整合性条件で統合すること。
• crossed modules の圏が braided 圏をなしており、モノイダル圏の double または中心構成を実現することを示すこと。
• 量子 braided 群 $ (A, \bar{A}, \tR) $ のモジュール圏を、crossed modules の double 圏の full subcategory として特定すること。
• Majid–Radford の cross product 定理を braided category の設定へ一般化すること。
• Majid の bosonization 定理を braided category 内の量子 braided 群の文脈へ拡張すること。

提案手法

• braided category $ \tc $ 内の Hopf 代数 $ A $ 上の crossed module の概念を導入し、これは $ A $-モジュール構造と $ A $-コモジュール構造が整合性を持つ対象として定義される。
• $ A $-モジュール圏の中心を実現する、crossed modules の圏 $ \text{DY}^A_A(\tc) $ を構成し、それが braided であることを証明する。
• 量子 braided 群 $ (A, \bar{A}, \tR) $ のモジュール圏と、$ \text{DY}^A_A(\tc) $ の full subcategory 間のカテゴリカル同値を確立する。
• 量子 braided 群のクラスにおける cross product 構成を定義し、古典的 Hopf 代数の cross product を braided setting へ拡張する。
• 理論を適用して Majid–Radford の定理を一般化し、braided category 内の Hopf 代数が、ある特定の構造的条件を満たす場合に限り cross product であることを示す。
• Majid の bosonization 構成を braided setting へ拡張し、量子 braided 群が、圏の中心内に位置する braided Hopf 代数の bosonization として実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 braided category の文脈において、crossed modules はどのように定義され、分類可能か？
• RQ2 braided category 内の Hopf 代数上の crossed modules の圏のカテゴリカル構造は何か？
• RQ3 量子 braided 群のモジュール圏は、crossed modules の圏とどのように関係するか？
• RQ4 古典的 Majid–Radford の cross product 定理は、braided category へ拡張可能か？
• RQ5 Majid の bosonization 構成は、braided category 内の量子 braided 群へどのように一般化可能か？

主な発見

• braided category $ \tc $ 内の Hopf 代数 $ A $ 上の crossed modules の圏 $ \text{DY}^A_A(\tc) $ は braided 圏であり、$ A $-モジュール圏の中心を実現する。
• 量子 braided 群 $ (A, \bar{A}, \tR) $ のモジュール圏は、$ \text{DY}^A_A(\tc) $ の full subcategory と同値であり、量子群と crossed modules の間のカテゴリカルな関係を確立する。
• 量子 braided 群のクラスにおいて、一般化された cross product 構成が定義され、古典的構成を braided setting へ拡張する。
• Majid–Radford の定理が一般化される：braided category 内の Hopf 代数が cross product であるための必要十分条件は、ある特定の braided Hopf 代数と双対対象への分解を許容することである。
• Majid の bosonization 定理は braided category の文脈へ拡張され、量子 braided 群が、圏の中心内に位置する braided Hopf 代数の bosonization として生じることを示す。
• 本稿は、crossed modules 及びその double 構成を通じて、braided category 内の量子群を理解するための包括的なカテゴリカル枠組みを提供する。