[論文レビュー] Crossed modules and the integrability of Lie brackets

Iakovos Androulidakis|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可積分性障害と自然に関連する交叉モジュールの上昇障害との間の正確な対応関係を確立する。可積分性障害が等長同型のČechコホモロジーによって分類されることを示し、コhomology群の自由かつ推移的な作用を通じて、PBG-群oidsのカップリングペア交叉モジュールの作用素拡張の完全分類を提供する。

ABSTRACT

We show that the integrability obstruction of a transitive Lie algebroid coincides with the lifting obstruction of a crossed module of groupoids associated naturally with the given algebroid. Then we extend this result to general extensions of integrable transitive Lie algebroids by Lie algebra bundles. Such a lifting obstruction is directly related with the classification of extensions of transitive Lie groupoids. We also give a classification of such extensions which differentiates to the classification of transitive Lie algebroids discussed in \cite{KCHM:new}.

研究の動機と目的

• トランスティーブなリー代数被覆の可積分性障害を、関連するリー群oidsの交叉モジュールの上昇障害と同一視すること。
• 可積分なトランスティーブなリー代数被覆の拡張の分類を、リー代数バンドルのケースにとどまらず拡張すること。
• PBG-群oidsのカップリングペア交叉モジュールの作用素拡張を、コホモロジー的手法を用いて分類すること。
• 可積分性問題をシンプレクティック幾何における幾何的プリクォエンタリゼーションおよび曲率量子化に関連付けること。
• 文献[15]および[17]の結果をPBG-群oidsおよび等長同型コホモロジーの設定に一般化すること。

提案手法

• トランスティーブなリー代数被覆から、関連するリー群oidsと同相束を用いて、リー群oidsの交叉モジュールを構成する。
• 構造群$G$、ファイバー$H$の主バンドルに対して、等長同型のČechコホモロジー$\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$を定義する。
• 局所的切断と移行関数を用いて、$\varphi_{ij}: G \times H \to H$を満たすコycle写像を定義し、$\varphi_{ij}(g)(h_1 h_2) = \varphi_{ik}(g)(h_1) \varphi_{kj}(g)(h_2)$を満たす。
• PBG-群oidsを、$P \times P$へのリー群バンドル$F$の拡張として導入し、等長同型の移行関数のもとで構造が保存されることを示す。
• 等長同型コホモロジー群$\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$が、作用素拡張の同値類の集合に作用することを定義する。
• 理論を応用し、PBG-群oidsのカップリングペア交叉モジュールの拡張を、コホモロジー群の作用を通じて分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスティーブなリー代数被覆の可積分性障害と、関連するリー群oidsの交叉モジュールの上昇障害との間の正確な関係は何か？
• RQ2 可積分なトランスティーブなリー代数被覆の拡張の分類を、リー代数バンドルのケースにとどまらずどのように一般化できるか？
• RQ3 等長同型のČechコホモロジーは、PBG-群oidsおよびその拡張の分類において果たす役割は何か？
• RQ4 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$の作用素拡張への作用は、主バンドルおよびリー群oidsの幾何にどのように関係するか？
• RQ5 PBG-群oidsの交叉モジュールの障害理論は、文献[15]におけるトランスティーブなリー代数被覆の分類をどのように一般化するか？

主な発見

• トランスティーブなリー代数被覆の可積分性障害は、関連するリー群oidsの交叉モジュールの上昇障害と一致する。
• PBG-群oidsのカップリングペア交叉モジュールの作用素拡張の同値類の集合は、$\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$の自由かつ推移的な作用によって分類される。
• PBG-群oidsの移行関数$s_{ij}$は、等長同型条件$s_{ij}(ug) = \varphi_{ij}(g)(s_{ij}(u))$を満たし、ここで$\varphi_{ij}$はコycle写像である。
• コホモロジー群$\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$は、ファイバータイプ$H$の主バンドル$P(M,G)$上のPBG-群oidsを分類する。
• $\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$の作用素拡張への作用は、適切に定義されており、交叉モジュールの構造を保存する。
• 理論により、シンプレクティック多様体のプリクォエンタリゼーション条件の幾何的実現が、トランスティーブなリー代数被覆の可積分性の特別な場合として得られる。