[論文レビュー] Crossed modules of monoids II. Relative crossed modules

Gabriella Böhm|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特定の適合条件を満たすスパンのクラスを備えたモノイド圏において、モノイドの相対的圏とモノイドの相対的クロスド・モジュールの間の同値性を確立する。ジャンェリドーゼの半アーベル圏への一般化に基づき、相対的プルバックを用いて定義される相対的圏が、分配法則と作用を用いて定義される相対的クロスド・モジュールとカテゴリカルに同値であることを証明する。これは、群やホップ代数における既知の同値性を、プルバックが完全に存在しないより広い圏的設定、特にスパンの圏や余モノイドの圏にまで拡張するものである。

ABSTRACT

This is the second part of a series of three strongly related papers in which three equivalent structures are studied: - internal categories in categories of monoids; defined in terms of pullbacks relative to a chosen class of spans - crossed modules of monoids relative to this class of spans - simplicial monoids of so-called Moore length 1 relative to this class of spans. The most important examples of monoids that are covered are small categories (treated as monoids in categories of spans) and bimonoids in symmetric monoidal categories (regarded as monoids in categories of comonoids). In this second part we define relative crossed modules of monoids and prove their equivalence with the relative categories of Part I.

研究の動機と目的

• 完全なプルバックが存在しない任意のモノイド圏におけるモノイドに一般化して、クロスド・モジュールと厳密2群の同値性を拡張すること。
• モノイドの圏におけるモノイド構造と適合するスパンのクラスを選び、それに対して相対的クロスド・モジュールを定義し、それらを研究すること。
• 相対的プルバックを持つスパンの圏におけるモノイドとして定義される相対的圏と、モノイドの相対的クロスド・モジュールとの間のカテゴリカルな同値性を確立すること。
• スパンの圏や余モノイドの圏に一般枠を適用することで、群のグロイドのクロスド・モジュールやホップモノイドの構成を特別な場合として回復すること。
• 相対的プルバックを備えたモノイド圏における内部圏、クロスド・モジュール、およびムーア長さ1の単体的モノイドを統合的に理解する枠組みを提供すること。

提案手法

• スパンのクラス S を選定し、それが適切かつモノイド的であることを保証することで、周囲の圏のモノイド構造と適合させる。
• S に関する相対的プルバックを定義し、これがスパンの新しい圏におけるモノイド積として機能する。
• 相対的プルバックを持つスパンの圏におけるモノイドとして相対的圏を定義し、内部圏の一般化とする。
• モノイドのスプリットエピモルフィズムの理論と分配法則を応用して、相対的圏内の射を特徴付ける。
• 分配法則を用いて、相対的プリクロスド・モジュールとモノイドの反射的グラフとの間の対応を確立する。
• ホップモノイドの場合に反対元が存在するという仮定の下で、関連する図式が可換であることを示すことにより、相対的圏と相対的クロスド・モジュールの完全なカテゴリカル同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プルバックが完全に存在しないモノイド圏におけるモノイドに一般化して、クロスド・モジュールと内部圏の同値性をどのように拡張できるか？
• RQ2 スパンのクラスにどのような条件を課えると、相対的プルバックが存在し、内部圏を定義するのに適したモノイド構造を形成するか？
• RQ3 モノイドとその作用の間の分配法則は、相対的クロスド・モジュールの構造をどのように表現するか？
• RQ4 スパンの圏や余モノイドに制限した場合、相対的圏と相対的クロスド・モジュールの構成はどのように関係するか？
• RQ5 ムーア長さ1の単体的群とクロスド・モジュールの同値性は、対称モノイド圏におけるモノイドに拡張可能か？

主な発見

• モノイドの圏における相対的圏の圏は、モノイドの相対的クロスド・モジュールの圏とカテゴリカルに同値である。
• この同値性は、分配法則とモノイドのスプリットエピモルフィズムの構造を用いて確立され、ジャンェリドーゼの半アーベル圏へのアプローチを一般化する。
• モノイド B が反対元 z を持つホップモノイドである場合、図式 (3.17) の可換性は図式 (3.15) の可換性と同値であり、同値性のための重要な技術的条件を提供する。
• この枠組みにより、既知の結果が回復される：ホップ代数上の Cat1-ホップ代数とクロスド・モジュールの同値性、および群上の Cat1-群とクロスド・モジュールの同値性。
• 証明は、射 →s の冪等性とブラーディング c の自然性に依存しており、これにより図式の簡約と同値性が可能になる。
• 両方のモノイドがホップまたはココンパクトホップモノイドであるような完全部分圏へも結果が拡張可能であり、[16, 系11] および [16, 定理14] が特別な場合として回復される。