[論文レビュー] Crossed product of Hopf algebras

A. L. Agore|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、群の交叉積とスモーズ積を一般化するホップ代数の構成であるホップ代数の交叉積を導入し、その性質を特徴づける。ホップ代数がこのような交叉積と同型であるための必要十分条件を確立する：正規ホップ部分代数と単位を含む部分コアルgebraによる因子分解。主たる貢献は、成分写像を用いた交叉積上のコクアシトリエンシャル（braided）構造の完全分類であり、$H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$ における明示的計算を通じて図示される。この構成は、ホップ代数論における因子分解およびbraidedモノイダル構造を理解するための普遍的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The main properties of the crossed product in the category of Hopf algebras are investigated. Let $A$ and $H$ be two Hopf algebras connected by two morphism of coalgebras $ riangleright : H\ot A o A$, $f:H\ot H o A$. The crossed product $A #_{f}^{ riangleright} H$ is a new Hopf algebra containing $A$ as a normal Hopf subalgebra. Furthermore, a Hopf algebra $E$ is isomorphic as a Hopf algebra to a crossed product of Hopf algebras $A #_{f}^{ riangleright} H$ if and only if $E$ factorizes through a normal Hopf subalgebra $A$ and a subcoalgebra $H$ such that $1_{E} \in H$. The universality of the construction, the existence of integrals, commutativity or involutivity of the crossed product are studied. Looking at the quantum side of the construction we shall give necessary and sufficient conditions for a crossed product to be a coquasitriangular Hopf algebra. In particular, all braided structures on the monoidal category of $A #_{f}^{ riangleright} H$-comodules are explicitly described in terms of their components. As an example, the braidings on a crossed product between $H_{4}$ and $k[C_{3}]$ are described in detail.

研究の動機と目的

• ホップ代数の圏における交叉積構成を形式化し、群積およびスモーズ積の一般化を調査すること。
• ホップ代数が2つのホップ代数の交叉積と同型であるための必要十分条件を確立すること。
• 交叉積の構造的性質（積分、半単純性、可換性、自己対合性など）を研究すること。
• 交叉積上のコクアシトリエンシャル（braided）構造の完全分類を行い、それらを成分写像と関連付けること。
• スウィードラーのホップ代数 $H_4$ と群代数 $k[C_3]$ 間の交叉積を詳細な例として提示すること。

提案手法

• ホップ代数 $A$ と $H$ の交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ を、適合する作用 $\triangleright: H \otimes A \to A$ とコサイクル $f: H \otimes H \to A$ を用いて定義する。両者ともコアルgebra準同型である。
• 文献[1]の統一的積構成を用い、$A \#_f^\triangleright H$ 上の代数的およびコアルgebra的構造を定義する。乗法と余乗法は、$\triangleright$ と $f$ を含む明示的式で与えられる。
• 作用とコサイクルが2つの適合条件を満たす場合、交叉積がアンチポーダを備えたホップ代数構造を引き継ぐことを証明する。
• 普遍的性質を確立する：ホップ代数 $E$ が交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ と同型であるための必要十分条件は、$E = A \cdot H$ と因子分解され、$A$ が正規ホップ部分代数であり、$1_E \in H$ であることである。
• 交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ 上のコクアシトリエンシャル構造を、成分写像の系として特徴づける：$A$ 上のbraided構造 $p$、歪ペアリング $u$ と $v$、および $H$ 上のbraiding $\tau$ であり、これらは条件 (25) から (31) までを満たす。
• 交叉積上のbraiding $\sigma$ を明示的に構成する：$\sigma(b \otimes y, c \otimes z) = u(b_{(1)}, z_{(1)}) p(b_{(2)}, c_{(1)}) \tau(y_{(1)}, z_{(2)}) v(y_{(2)}, c_{(2)})$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数が2つのホップ代数の交叉積と同型であるための条件は何か？
• RQ2 ホップ代数の交叉積がコクアシトリエンシャル（すなわちbraided構造をもつ）であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ の余モジュラー圏上のすべてのbraided構造を明示的に記述する方法は何か？
• RQ4 交叉積の構造的性質（例：半単純性、積分、可換性）は、$A$、$H$、$\triangleright$、$f$ の各成分にどのように依存するか？
• RQ5 交叉積構成を用いて、量子ウェイル代数や $H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$ のような特定のホップ代数を実現できるか？

主な発見

• ホップ代数 $E$ が交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ と同型であるための必要十分条件は、$E = A \cdot H$ と因子分解され、$A$ が正規ホップ部分代数であり、$1_E \in H$ であることである。これは、このような因子分解の完全な特徴づけを提供する。
• 交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ が可換であるための必要十分条件は、作用 $\triangleright$ とコサイクル $f$ が特定の対称性条件を満たすことである。特に $f(h,k) = f(k,h)$ および一般化された意味で $h \triangleright a = a \triangleright h$ が成り立つことである。
• 交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ が半単純であるための必要十分条件は、$A$ と $H$ がともに半単純であることである。また、積分は $A$ と $H$ 上の積分を用いて構成される。
• 交叉積 $A\#_f^\triangleright H$ 上のすべてのコクアシトリエンシャル構造は、成分写像の系により明示的に分類される：$A$ 上のbraided構造 $p$、歪ペアリング $u$、$v$、および $H$ 上のbraiding $\tau$ であり、これらは条件 (25) から (31) を満たす。
• 具体的な例 $H_4 \#_f^\triangleright k[C_3]$ に対して、パrameter $\alpha \in k$ および $\gamma \in k$（ただし $\gamma^3 = 1$）でパラメータ化されたbraidingの族を構成し、$\sigma$ の全 $12 \times 12$ 行列の構造定数を明示的に与えた。