[論文レビュー] Crossed products and cleft extensions for coquasi-Hopf algebras

Adriana Balan|ArXiv.org|May 27, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非双代数的設定へのホップ代数の構成を一般化するため、共準ホップ代数に対する交差積とクリフト拡大を導入する。クリフト拡大が逆可換なコサイクルを持つ交差積と同値であることを確立し、次元2および3の非自明な共準ホップ代数について、それらの完全な分類を提示。また、モリタ同値により、それらの共準ホップモジュールの圏が自明であることを示している。

ABSTRACT

The notion of crossed product by a coquasi-bialgebra H is introduced and studied. The resulting crossed product is an algebra in the monoidal category of right H-comodules. We give an interpretation of the crossed product as an action of a monoidal category. In particular, necessary and sufficient conditions for two crossed products to be equivalent are provided. Then, two structure theorems for coquasi Hopf modules are given. First, these are relative Hopf modules over the crossed product. Second, the category of coquasi-Hopf modules is trivial, namely equivalent to the category of modules over the starting associative algebra. In connection the crossed product, we recall the notion of a cleft extension over a coquasi-Hopf algebra. A Morita context of Hom spaces is constructed in order to explain these extensions, which are shown to be equivalent with crossed product with invertible cocycle. At the end, we give a complete description of all cleft extensions by the non-trivial coquasi-Hopf algebras of dimension two and three.

研究の動機と目的

• 双代数およびホップ代数からの交差積とクリフト拡大の理論を共準ホップ代数へ一般化すること。
• 余モジュールのモノイダル圏の作用を通じて、交差積の圏的解釈を提供すること。
• クリフト拡大のためのモリタ構造を確立し、逆可換なコサイクルを持つ交差積とそれらの同値性を証明すること。
• 次元2および3の非自明な共準ホップ代数のすべてのクリフト拡大を分類すること。
• 共準ホップ代数モジュールの圏が自明（すなわち、基本代数上のモジュールの圏と同値）であることを示すこと—これは共準双代数に反対元が存在し、コサイクルが逆可換である場合に成立する。

提案手法

• 再結合子 $ \omega $ によって修正された $ R $-値の2次コサイクルを用いて、共準双代数 $ H $ と $ H $-弱作用を持つ代数 $ R $ に対して、交差積 $ R \overline{\#}_{\sigma} H $ を定義する。
• モノイダル圏論を用いて、交差積を $ H $-余モジュールの圏が $ R $-モジュールの圏に作用するものとして解釈する。
• ホム空間のモリタ構造を構成し、クリフト拡大を解析し、逆可換なコサイクルを持つ交差積と同値であることを示す。
• 特定の適合条件を満たす六重組 $ (\mathcal{F}, \mathcal{G}, u^{(1)}, u^{(2)}, v^{(1)}, v^{(2)}) $ を用いて、$ H(3) $-データのクリフト性を特徴付ける。
• 合成可逆写像 $ \mathfrak{a}: H(3) \to B $ を用いて、交差積の同型と基本代数 $ B $ の内部自己同型との関係を定める。
• コサイクルが逆可換で $ H $ に反対元が存在する場合、共準ホップモジュールの圏が特別な余不変量への射影を通じて $ R $-モジュールの圏と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密な結合性が欠如する状況において、双代数から共準ホップ代数への交差積の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 共準ホップ代数上のクリフト拡大が、逆可換なコサイクルを持つ交差積と同値となる条件は何か？
• RQ3 共準ホップモジュールの圏の構造は何か？ そして、それが自明（すなわち、基本代数上のモジュールの圏と同値）であるのはいつか？
• RQ4 次元2および3の非自明な共準ホップ代数上でのすべてのクリフト拡大をどのように分類できるか？
• RQ5 異なるクリフトデータから構成された2つの交差積代数が同型である条件は何か？

主な発見

• 共準ホップ代数上のクリフト拡大は、逆可換なコサイクルを持つ交差積と同値であり、ホップ代数の場合の一般化である。
• 共準双代数に反対元が存在し、コサイクルが逆可換である場合、共準ホップモジュールの圏は自明である—すなわち、基本代数 $ R $ 上の右モジュールの圏と同値である。
• 次元3の非自明な共準ホップ代数 $ H(3) $ によるすべてのクリフト拡大は、命題46の6条件を満たすデータによって完全にパラメータ化された交差積 $ \left(\frac{\mathcal{F},\mathcal{G},u^{(1)},u^{(2)},v^{(1)},v^{(2)}}{B}\right) $ と同型である。
• このような2つの交差積が同型であるための必要十分条件は、それらのデータが基本代数 $ B $ の内部自己同型によって関連付けられていることであり、写像および要素に対して特定の変換則が成り立つ。
• 交差積 $ H^* \overline{\#}_{\sigma} H $ は、共準双代数のためのヘイゼンベルク双対の類似であり、再結合子 $ \omega $ をコサイクルとして用いて構成される。
• 有限次元の場合、交差系は右 $ H^* $-余モジュール代数に対応し、交差積はハウサーとニルの準スモーズ積と一致する。