[論文レビュー] Crossed products by abelian semigroups via transfer operators

Nadia S. Larsen|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、単一の自己準同型と転送作用素によるエクセルの交叉積を、アーベル的半群の自己準同型作用と関連する転送作用素への一般化する。フォーラーのヒルベルト双加群の積系理論を相対的クンツ・パインスナー代数を含むように拡張することで、既存の構成を統一し、新たな例（たとえば、コンパクトなアーベル群 $\Gamma$ に対する $C(\Gamma)$ 上の交叉積）を生み出す普遍的交叉積を構成する。特定の状況では、これらはヘッケ $C^*$-代数と同型である。

ABSTRACT

We propose a generalisation of Exel's crossed product by a single endomorphism and a transfer operator to the case of actions of abelian semigroups of endomorphisms and associated transfer operators. The motivating example for our definition yields new crossed products, not obviously covered by familiar theory. Our technical machinery builds on Fowler's theory of Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras of discrete product systems of Hilbert bimodules, which we need to expand to cover a natural notion of relative Cuntz-Pimsner algebras of product systems.

研究の動機と目的

• 単一の自己準同型と関連する転送作用素によるエクセルの交叉積構成を、自己準同型のアーベル的半群作用と関連する転送作用素へ拡張すること。
• フォーラーのフレームワークを拡張し、半群上のヒルベルト双加群の積系に対する相対的クンツ・パインスナー代数の理論を構築すること。
• 特に、標準理論ではカバーされない場合にあたる、既存の交叉積構成を統一・一般化すること。
• コンパクトなアーベル群 $\Gamma$ に対する $C(\Gamma)$ 上の $\mathbb{N}^*$ の作用と関連する転送作用素を含む、動機づけられる例のクラスを分析すること。
• 新しい交叉積と既知の代数（例：ヘッケ $C^*$-代数）との同型関係を、特定の状況で確立すること。

提案手法

• 半群動的系 $(A, S, \alpha, L)$ の共変表現に対する普遍的 $C^*$-代数として、トーピツ交叉積を構成する。ここで $S$ は単位的アーベル半群、$\alpha$ は自己準同型による作用、$L$ は転送作用素の族である。
• 冗長性の理想による商をとることで、トーピッツ交叉積の商として交叉積 $A \rtimes_{\alpha,L} S$ を定義する。
• トーピッツ交叉積を実現するヒルベルト双加群の積系 $X$ を構築する。
• 特定の理想 $J_s = \phi_s^{-1}(\mathcal{K}(X_s))$ における等長性条件を用いて、$A \rtimes_{\alpha,L} S$ を積系 $X$ の相対的クンツ・パインスナー代数として同定する。
• 特定の等長性条件を満たす $(A, S, L, \beta)$ のトーピッツ表現と積系 $X$ の表現との間で、写像 $(\pi, V) \mapsto (\pi, V^*)$ を通じた一対一対応を確立する。
• 転送作用素が単射的自己準同型で、その像が遺伝的（hereditary）である場合、新しい交叉積が古典的交叉積 $A \rtimes_\alpha S$ と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の自己準同型と転送作用素によるエクセルの交叉積構成を、自己準同型のアーベル的半群作用と関連する転送作用素へ一般化する方法は何か？
• RQ2 ヒルベルト双加群の積系に対する相対的クンツ・パインスナー代数の適切な一般化は何か？ そしてそれは交叉積とどのように関係するか？
• RQ3 $C(\Gamma)$-作用と $\mathbb{N}^*$ の動機づけられる例において、得られる交叉積が既知の $C^*$-代数（例：ヘッケ代数）と同型になる条件は何か？
• RQ4 新しい交叉積 $A \rtimes_{\alpha,L} S$ が古典的交叉積 $A \rtimes_\alpha S$ と一致する条件は何か？
• RQ5 等長的および共等長的表現の双対性を活用することで、異なる交叉積構成同士の同型関係を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、アーベル的半群 $S$ の自己準同型作用と関連する転送作用素に対して、新しい交叉積 $A \rtimes_{\alpha,L} S$ を構成し、エクセルの構成を一般化する。
• この交叉積は、ヒルベルト双加群の積系の相対的クンツ・パインスナー代数として実現され、フォーラーの理論を相対的構造を含むように拡張する。
• 転送作用素が単射的自己準同型で、その像が遺伝的である場合、新しい交叉積は古典的交叉積 $A \rtimes_\alpha S$ と同型となり、既知の結果が回復される。
• 動機づけられる例として、コンパクトなアーベル群 $\Gamma$ と $S = \mathbb{N}^*$ を用いた $C(\Gamma)$ の場合、$\Gamma = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ のとき、$C(\Gamma) \rtimes_{\beta,L} \mathbb{N}^*$ はボストとコンノスのヘッケ $C^*$-代数と同型である。
• 定理 4.7 の仮定のもとで、同型 $A \rtimes_{\beta,L} S \cong A \rtimes_{L,\beta} S \cong A \rtimes_L S$ が成り立つ。これは、この文脈において等長的および共等長的表現が双対的であることを示している。
• この構成は、既存の理論では明確にカバーされない新たな $C^*$-代数を生み出し、特に単一の自己準同型からの作用でない場合に、交叉積構成の範囲を拡張する。