[論文レビュー] Crossed Products by Dual Coactions of Groups and Homogeneous Spaces

Siegfried Echterhoff, S. Kaliszewski+1 more|ArXiv.org|Aug 29, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、C*-代数値をとる連続関数を用いて、群および同次空間における双対作用の自己作用の表現を誘導するためのヒルベルト双モジュールの、より明確で操作可能な構成を提示する。主な貢献は、非正規部分群に対しても一般化されたマンズフィールドの不変性定理を拡張し、双対作用の表現論に実用的な枠組みを提供する、反復自己作用と不変性代数のモラータ同値性を確立することである。

ABSTRACT

Mansfield showed how to induce representations of crossed products of C*-algebras by coactions from crossed products by quotient groups and proved an imprimitivity theorem characterising these induced representations. We give an alternative construction of his bimodule in the case of dual coactions, based on the symmetric imprimitivity theorem of the third author; this provides a more workable way of inducing representations of crossed products of C*-algebras by dual coactions. The construction works for homogeneous spaces as well as quotient groups, and we prove an imprimitivity theorem for these induced representations.

研究の動機と目的

• 自己作用の双対作用による自己作用の表現を誘導する際のヒルベルト双モジュールのより明確で操作可能な構成を提供すること。
• H が正規でない場合でも、商群から拡張されたマンズフィールドの不変性定理を同次空間 G/H へ拡張すること。
• C*-代数値をとる連続関数を用いて、反復自己作用と不変性代数の間のモラータ同値性を確立すること。
• 特に H が非可換な場合に、同次空間による全自己作用と部分自己作用の関係を明確にすること。
• H が正規かつ可換な場合に、新しい双モジュールがマンズフィールドの構成と一致することを示すこと。

提案手法

• 対称的不変性定理を用いて、A に値をとる連続関数として実現された Cc(G × G, A) の完備化として双モジュールを定義する。
• C0(G, A) ×α⊗τ G) × H と C0(G/H, A) × G の間のモラータ同値性を確立する。ここで α⊗τ は A ⊗ C0(G/H) 上の対角作用である。
• 部分群 H に関連する射影を用いて、双モジュールを自己作用代数のコーナーとして実現する。
• 二重双対作用と空間的自己作用を活用して、同次空間による全自己作用と部分自己作用の関係を関係づける。
• 自己作用のモラータ同値性のリンク代数構成を用い、これを G/H による自己作用へ拡張する。
• 双モジュールが不変性双モジュールであることを保証するため、コーナー射影が自己作用代数内で全イデアルを生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己作用の双対作用による表現誘導のための、より明確で操作可能な双モジュールを構成できるか？
• RQ2 H が正規でない場合でも、マンズフィールドの不変性定理は同次空間 G/H へ拡張可能か？
• RQ3 特に H が非可換な場合に、同次空間による全自己作用と部分自己作用の関係はいかなるものか？
• RQ4 H が正規かつ可換な場合に、新しい双モジュール構成はマンズフィールドのものと同型か？
• RQ5 G/H による空間的自己作用は意味的に部分自己作用として解釈可能か？また、不変性代数とどう関係するか？

主な発見

• Cc(G × G, A) の完備化として新しいヒルベルト双モジュールが構成され、マンズフィールドの元の構成よりも表現の実現が明確になる。
• C0(G, A) ×α⊗τ G) × H と C0(G/H, A) × G の間のモラータ同値性が確立され、マンズフィールドの結果が非正規部分群へ一般化される。
• H が正規かつ可換な場合、新しい双モジュールはマンズフィールドのものと同型であり、既知のケースでの構成の妥当性が裏付けられる。
• 非可換 H の場合、新しい双モジュールは全自己作用と同型であり、一方マンズフィールドの構成（[7] 参照）は部分自己作用に対応するため、構造的差が明確になる。
• 空間的自己作用 B ×r G/H が (B ×δ G) ×r H とモラータ同値であることが示され、が、一意の具体的な双モジュールを介さない。
• この構成により、同次空間の自己作用の定義が可能になるが、一般には自己作用が定義されないことに注意。