[論文レビュー] Crossed products by finite cyclic group actions with the tracial Rokhlin property

N. Christopher Phillips|ArXiv.org|Jun 28, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、安定的有限な単純ユニタリ C*-代数に対する有限巡回群作用に対して、トレース的 Rokhlin 性質を導入し、このような性質を満たす作用のもとでの交叉積が、トレース的ランク零を保つことを証明する。主な貢献は、すべての単純な高次元非可換トーラスが AT 代数であることを帰納的に証明することであり、さらに無理数回転代数の交叉積および非可換トーラス上の $\mathbb{Z}_2$ フリップ作用が AF または AH 代数であり、実ランク零をもつことに関する追加結果も得られている。

ABSTRACT

We define the tracial Rokhlin property for actions of finite cyclic groups on stably finite simple unital C*-algebras. We prove that when the algebra is in addition simple and has tracial rank zero, then the crossed product again has tracial rank zero. Under a kind of weak approximate innerness assumption and one other technical condition, we prove that if the action has the the tracial Rokhlin property and the crossed product has tracial rank zero, then the original algebra has tracial rank zero. We give examples showing how the tracial Rokhlin property differs from the Rokhlin property of Izumi. We use these results, together with work of Elliott-Evans and Kishimoto, to give an inductive proof that every simple higher dimensional noncommutative torus is an AT algebra. We further prove that the crossed product of every simple higher dimensional noncommutative torus by the flip is an AF algebra, and that the crossed products of irrational rotation algebras by the standard actions of the cyclic groups of orders 3, 4, and 6 are simple AH algebras with real rank zero.

研究の動機と目的

• C*-代数に対する有限巡回群作用の Izumi の厳密 Rokhlin 性質の弱い代替定義を、安定的有限で単純かつユニタリな C*-代数に適したものとして定義すること。特に、トレース的ランク零をもつ場合に有効であるように。
• このような代数の交叉積がトレース的ランク零を保つための条件を確立し、帰納的分類議論を可能にする。
• すべての単純な高次元非可換トーラスが AT 代数であることを証明すること。これは、既存の無理数回転代数や高次元類似物に関する結果を拡張するものである。
• 無理数回転代数における $\mathbb{Z}_3$、$\mathbb{Z}_4$、$\mathbb{Z}_6$ の標準的作用および高次元非可換トーラス上の $\mathbb{Z}_2$ フリップ作用を分析し、それらの交叉積が実ランク零をもつ AH 代数であることを示す。
• トレース的 Rokhlin 性質の限界を検討し、非単純、純粋無限、または射影が少ない C*-代数への一般化を提案する。

提案手法

• Lin のトレース的 AF 代数が AF 代数を一般化するのと同様に、トレース的 Rokhlin 性質を定義する。具体的には、群作用とほとんど可換な射影を用い、トレース条件を満たすものとする。
• ユニタリ C*-代数がトレース的ランク零をもち、かつトレース的 Rokhlin 性質をもつ作用をもつならば、その交叉積もトレース的ランク零をもつことを証明する。
• H. Lin のトレース的ランク零をもつ単純 C*-代数の分類定理を用いて、非可換トーラスの帰納的構造定理を確立する。
• 定理 8.2 を適用し、トレースおよび K-理論の分析により、回転代数における標準的作用および非可換トーラス上のフリップ作用に対してトレース的 Rokhlin 性質を検証する。
• K-理論を用いて交叉積の K-理論を計算し、$C^*(\mathbb{Z}_4, A_\theta)$ が無理数 $\theta$ の稠密な $G_\delta$-集合に対して AF 代数であることを示し、実ランク零および安定的ランク 1 の結果を用いて、すべての無理数 $\theta$ に対して同様の結果を拡張する。
• 双対作用および固定点代数の技法を用いて双対作用を分析し、特定の状況においてトレース的 Rokhlin 条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限巡回群作用に対する C*-代数におけるトレース的 Rokhlin 性質は、その交叉積がトレース的ランク零を保つことを示唆するか？
• RQ2 元の C*-代数およびその交叉積がともにトレース的ランク零をもち、作用およびその双対がトレース的近似的内包的である場合、作用は必然的にトレース的 Rokhlin 性質をもつのか？
• RQ3 トレース的 Rokhlin 性質は、非安定的有限、非単純、または純粋無限の C*-代数、特に射影が少ない代数へ一般化可能か？
• RQ4 トレース的ランク零をもつ単純ユニタリ C*-代数に作用する場合、複数のトレース測度をもつ場合のトレース的 Rokhlin 性質のバージョンは存在するか？
• RQ5 どのような条件下で自己同型がトレース的近似的内包的となるか。特に、$K_0$ 上で無限小部分群を modulo として自明に作用する場合に。

主な発見

• 安定的有限で単純かつユニタリな C*-代数がトレース的ランク零をもち、かつトレース的 Rokhlin 性質をもつ作用をもつならば、その交叉積もトレース的ランク零をもつ。
• すべての単純な高次元非可換トーラスは、トレース的 Rokhlin 性質を用いた帰納的議論により AT 代数である。
• 無理数回転代数 $A_\theta$ に対する $\mathbb{Z}_4$ 作用の交叉積は、$\theta$ の稠密な $G_\delta$-集合に対して AF 代数である。実ランク零および安定的ランク 1 の結果を用いて、すべての無理数 $\theta$ に対して同様に AF 代数であることが示された。
• $\mathbb{Z}_3$ や $\mathbb{Z}_6$ による無理数回転代数の交叉積は、実ランク零をもつ単純な AH 代数である。
• 単純な高次元非可換トーラス上のフリップ自己同型の交叉積は AF 代数である。
• $\mathbb{Z}_4$ による無理数回転代数の作用では、すべての無理数 $\theta$ に対して、その交叉積は実ランク零および安定的ランク 1 をもつ。これは Walters の $G_\delta$-集合結果を越える。