[論文レビュー] Crossed products of Banach algebras. I

Sjoerd Dirksen, Marcel de Jeu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Banach代数の力学系 $(A, G, \alpha)$ と一様有界な連続共変表現の族 $\mathcal{R}$ から、一般化された交叉積構成を導入する。主な結果は、交叉積代数の非退化有界表現と、系の非退化 $\mathcal{R}$-連続共変表現との間の全単射を確立し、既知の $C^*$-代数の交叉積対応を一般化するとともに、群 $C^*$-代数の概念をBanach代数へ拡張する。

ABSTRACT

We construct a crossed product Banach algebra from a Banach algebra dynamical system $(A,G,α)$ and a given uniformly bounded class $R$ of continuous covariant Banach space representations of that system. If $A$ has a bounded left approximate identity, and $R$ consists of non-degenerate continuous covariant representations only, then the non-degenerate bounded representations of the crossed product are in bijection with the non-degenerate $R$-continuous covariant representations of the system. This bijection, which is the main result of the paper, is also established for involutive Banach algebra dynamical systems and then yields the well-known representation theoretical correspondence for the crossed product $C^*$-algebra as commonly associated with a $C^*$-algebra dynamical system as a special case. Taking the algebra $A$ to be the base field, the crossed product construction provides, for a given non-empty class of Banach spaces, a Banach algebra with a relatively simple structure and with the property that its non-degenerate contractive representations in the spaces from that class are in bijection with the isometric strongly continuous representations of $G$ in those spaces. This generalizes the notion of a group $C^*$-algebra, and may likewise be used to translate issues concerning group representations in a class of Banach spaces to the context of a Banach algebra, simpler than $L^1(G)$, where more functional analytic structure is present.

研究の動機と目的

• Banach代数の文脈において、$C^*$-代数の交叉積構成を一般化すること。
• 交叉積の非退化有界表現と、系の非退化 $\mathcal{R}$-連続共変表現との間の表現論的対応を確立すること。
• 任意のBanach空間の族 $\mathcal{X}$ に対して、群Banach代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ を構成することにより、群 $C^*$-代数の理論をBanach代数へ拡張すること。
• Banach空間における群表現に関する問題を、より単純で構造的なBanach代数へ翻訳するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 空間 $C_c(G, A)$ のコンパクト台付き連続関数の完備化として、クラス $\mathcal{R}$ の表現から導かれるノルムを用いて、交叉積Banach代数 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ を構成する。
• クラス $\mathcal{R}$-連続共変表現における上界を用いて、$C_c(G, A)$ 上のノルムを定義し、その結果得られる代数がBanach代数であることを保証する。
• 代数 $A$ に有界左近似単位元が存在することを用いて、交叉積の左中心化代数が、交叉積の非退化表現から得られる表現を支えることを保証する。
• 表現の自然な拡張を用いて、交叉積の非退化有界表現と、$(A, G, \alpha)$ の非退化 $\mathcal{R}$-連続共変表現との間の自然な全単射を確立する。
• 特に $A = \mathbb{C}$ の場合に特化することで、群Banach代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ が得られ、その空間 $\mathcal{X}$ 内の非退化合同表現が、それらの空間における等長的強く連続な $G$ の表現と一対一に対応する。
• involutionを持つBanach代数の場合、$\mathcal{R}$ がinvolutionを持つ表現からなるとき、標準的な $C^*$-代数の交叉積対応が特殊ケースとして回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach代数の力学系 $(A, G, \alpha)$ と連続共変表現の族 $\mathcal{R}$ から、交叉積Banach代数を構成できるか？
• RQ2 交叉積の非退化有界表現と、系の非退化 $\mathcal{R}$-連続共変表現との間に自然な全単射が存在するか？
• RQ3 $C^*$-代数の場合に、古典的な $C^*$-代数の交叉積対応がこの構成で一般化されるか？
• RQ4 群 $C^*$-代数の構成をBanach代数へ拡張し、任意のBanach空間における等長的群表現を捉えることができるか？
• RQ5 有界左近似単位元は、表現論的対応が成立するように保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 交叉積Banach代数 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ は、クラス $\mathcal{R}$ から導かれるノルムの下で $C_c(G, A)$ の完備化として構成され、Banach代数である。
• 代数 $A$ に有界左近似単位元が存在し、かつ $\mathcal{R}$ が非退化連続共変表現からなる場合、交叉積の非退化有界表現と、$(A, G, \alpha)$ の非退化 $\mathcal{R}$-連続共変表現との間に全単射が存在する。
• involutionを持つBanach代数の力学系の場合、この対応は標準的な $C^*$-代数の表現論的双対性を特別な場合として回復する。
• $A = \mathbb{C}$ の場合、構成により群Banach代数 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ が得られ、その空間 $\mathcal{X}$ 内の非退化合同表現は、それらの空間における等長的強く連続な $G$ の表現と一対一に対応する。
• 自明な群の場合、構成は $A / \ker(\sigma^\mathcal{R})$ の $\sigma^\mathcal{R}(a) = \sup_{\pi \in \mathcal{R}} \|\pi(a)\|$ による半ノルムでの完備化に帰着し、$\mathcal{R}$ がヒルベルト空間におけるすべてのinvolutionを持つ表現からなる場合、包絡 $C^*$-代数が回復される。
• この対応は、表現のノルム、閉じた不変部分空間、および有界交換作用素の空間を保存する。