[論文レビュー] Crossed products of $L^p$ operator algebras and the K-theory of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、局所コンパクト群の等長作用の下での $L^p$ 演算子代数の完全および短縮交叉積を導入し、普遍性を確立し、アーベル群に対して双対作用を構成し、$
5\mathbb{Z}$-作用に対してPimsner-Voiculescu完全系列を証明する。主な結果は、Cuntz代数 $
5\mathcal{O}_d^p$ の $L^p$ 擬似物の $K$-理論が $K_0(
5\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1(
5\mathcal{O}_d^p) = 0$ を満たすことで、$C^*$-代数の場合と一致することである。

ABSTRACT

For $p \in [1, \infty),$ we define and study full and reduced crossed products of algebras of operators on $σ$-finite $L^p$ spaces by isometric actions of second countable locally compact groups. We give universal properties for both crossed products. When the group is abelian, we prove the existence of a dual action on the full and reduced $L^p$ operator crossed products. When the group is discrete, we construct a conditional expectation to the original algebra which is faithful in a suitable sense. For a free action of a discrete group on a compact metric space $X,$ we identify all traces on the reduced $L^p$ operator crossed product, and if the action is also minimal we show that the reduced $L^p$ operator crossed product is simple. We prove that the full and reduced $L^p$ operator crossed products of an amenable $L^p$ operator algebra by a discrete amenable group are again amenable. We prove a Pimsner-Voiculescu exact sequence for the K-theory of reduced $L^p$ operator crossed products by ${\mathbb{Z}}.$ We show that the $L^p$ analogs ${\mathcal{O}}_d^p$ of the Cuntz algebras ${\mathcal{O}}_d$ are stably isomorphic to reduced $L^p$ operator crossed products of stabilized $L^p$ UHF algebra by ${\mathbb{Z}},$ and show that $K_0 ({\mathcal{O}}_d^p) \cong {\mathbb{Z}} / (d - 1) {\mathbb{Z}}$ and $K_1 ({\mathcal{O}}_d^p) = 0.$

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の等長作用の下での $L^p$ 演算子代数の完全および短縮交叉積の理論を構築すること。
• 離散群作用における普遍性および条件付き期待値を確立すること。
• $\mathbb{Z}$ による $L^p$ 短縮交叉積の $K$-理論に対するPimsner-Voiculescu型完全系列を証明すること。
• $L^p$ Cuntz代数 $
  5\mathcal{O}_d^p$ の $K$-理論を計算し、$K_0(\u00015\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1(\u00015\mathcal{O}_d^p) = 0$ を示すこと。
• $L^p$ 演算子交叉積の単純性、トレース、およびアーベル性を、さまざまな群および空間の条件の下で調査すること。

提案手法

• 等長群作用の下での $\sigma$-有限な $L^p$ 空間に対する普遍性を用いて、完全および短縮 $L^p$ 演算子交叉積を定義する。
• 離散群に対して、短縮交叉積から元の代数への条件付き期待値を構成し、適切な意味で忠実であることを示す。
• 群が第二可算、局所コンパクト、かつアーベルであるとき、完全および短縮交叉積に双対作用が存在することを証明する。
• $\mathbb{Z}$ による $L^p$ 短縮交叉積の $K$-理論に対するPimsner-Voiculescu完全系列を、$K_0$ および $K_1$ 群を含む六項完全系列を用いて確立する。
• $\mathcal{O}_d^p$ の安定化を、安定化された $L^p$ UHF代数の $\mathbb{Z}$ による短縮 $L^p$ 交叉積として実現し、$K$-理論の計算を可能にする。
• Pimsner-Voiculescu系列およびその実現を用いて、$K_0(\u00015\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ および $K_1(\u00015\mathcal{O}_d^p) = 0$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群が有限の場合、完全 $L^p$ 交叉積は短縮 $L^p$ 交叉積と同型であるか？
• RQ2 $L^p$ Cuntz代数 $\mathcal{O}_d^p$ の $K$-理論は、交叉積技法を用いて計算可能か？
• RQ3 コンパクトな距離空間 $X$ 上の $G$-作用における、短縮 $L^p$ 交叉積のトレースは、$X$ 上の $G$-不変ボレル確率測度と一対一対応するか？
• RQ4 アーベルな $L^p$ 演算子代数のアーベルな離散群による短縮 $L^p$ 交叉積は、バナッハ代数として再びアーベル的か？
• RQ5 $L^p$ 交叉積における双対作用は、Takai双対性の類似を満たすか？

主な発見

• Cuntz代数 $
  5\mathcal{O}_d^p$ の $L^p$ 擬似物の $K_0$-群は $\mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ に同型であり、$K_1(\u00015\mathcal{O}_d^p) = 0$ である。これは $C^*$-代数の場合と一致する。
• $\mathcal{O}_d^p$ の安定化は、安定化された $L^p$ UHF代数の $\mathbb{Z}$ による短縮 $L^p$ 交叉積と同型であり、$K$-理論の計算を可能にする。
• 可算で離散な群 $G$ がコンパクトな距離空間 $X$ に自由かつ最小的かつ可測に作用するとき、$L^p$ 演算子短縮交叉積は単純である。
• コンパクトな距離空間 $X$ 上の可算離散群の自由作用による短縮 $L^p$ 交叉積のトレースは、$X$ 上の $G$-不変ボレル確率測度と一対一対応する。
• アーベルな $L^p$ 演算子代数の離散アーベル群による完全および短縮 $L^p$ 交叉積は、バナッハ代数としてアーベル的である。
• $\mathbb{Z}$ による $L^p$ 短縮交叉積の $K$-理論に対するPimsner-Voiculescu完全系列は成り立ち、$K$-理論計算の主要な道具である。