[論文レビュー] Crossing probabilities in asymmetric exclusion processes

Pablo A. Ferrari, Patrícia Gonçalves+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、右に跳躍する確率 $p \in (1/2,1]$ で左に跳躍する確率 $1-p$ を持つ非対称的単純排除過程（ASEP）を研究し、段階的初期条件における第二級粒子の挙動に焦点を当てる。2つの第二級粒子の衝突確率を正確に $(1+p)/3p$ として導出し、これは基本的カップリングによる2つのASEP過程のカップリング時間の確率とも一致する。さらに、$p=1$ におけるコーナー成長モデルへの拡張も行われる。これらの結果は、粒子系と流体力学的極限におけるバーガース方程式のファン解との間の深い関係を示している。

ABSTRACT

We consider the one-dimensional asymmetric simple exclusion process (ASEP) in which particles jump to the right at rate $p\in(1/2,1]$ and to the left at rate $1-p$, interacting by exclusion. In the initial state there is a finite region such that to the left of this region all sites are occupied and to the right of it all sites are empty. Under this initial state, the hydrodynamical limit of the process converges to the rarefaction fan of the associated Burgers equation. In particular suppose that the initial state has first-class particles to the left of the origin, second-class particles at sites 0 and 1, and holes to the right of site 1. We show that the probability that the two second-class particles eventually collide is $(1+p)/3p$, where a_collision_ occurs when one of the particles attempts to jump over the other. This also corresponds to the probability that two ASEP processes, started from appropriate initial states and coupled using the so-called basic coupling, eventually reach the same state. We give various other results about the behaviour of second-class particles in the ASEP. In the totally asymmetric case ($p=1$) we explain a further representation in terms of a multi-type particle system, and also use the collision result to derive the probability of coexistence of both clusters in a two-type version of the corner growth model.

研究の動機と目的

• 非対称な跳躍レートを持つ非対称的単純排除過程（ASEP）における第二級粒子のダイナミクスを分析すること。
• 特定の段階的初期条件の下で、2つの第二級粒子が最終的に衝突する確率を特定すること。
• この衝突確率が、基本的カップリング手法を用いた2つのASEP過程のカップリング時間確率とどのように関係するかを明らかにすること。
• $p=1$ における多種粒子系の表現に結果を拡張し、コーナー成長モデルに応用すること。
• 粒子系の挙動と、流体力学的極限におけるバーガース方程式の拡散ファン解との関係を調査すること。

提案手法

• ASEPの流体力学的極限を用い、与えられた初期条件の下でバーガース方程式の拡散ファン解に収束することを分析する。
• 2つのASEP過程のカップリング時間を解析するため、基本的カップリングを用いる。これは第二級粒子の衝突時刻に等価である。
• 正確な組合せ論的および確率論的技法を用いて、系内における2つの第二級粒子の衝突確率を計算する。
• 完全非対称的状況（$p=1$）では、粒子の相互作用をより明示的にモデル化するために多種粒子系の表現を導入する。
• 衝突確率を2種類のクラスターの共存確率に結びつけることで、コーナー成長モデルへの応用を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた初期配置下で、ASEPにおける2つの第二級粒子が最終的に衝突する正確な確率は何か？
• RQ2 第二級粒子の衝突確率は、基本的カップリング下での2つのASEP過程のカップリング時間確率とどのように関係するか？
• RQ3 ASEPのダイナミクスと、流体力学的極限におけるバーガース方程式の拡散ファン解との関係は何か？
• RQ4 $p=1$ における衝突確率を用いて、2種類の成長プロセスにおける2つのクラスターの共存確率をどのように導出できるか？
• RQ5 粒子の種別（第一級、第二級、空き）が、系のマクロな挙動に果たす役割は何か？

主な発見

• $p \in (1/2,1]$ の範囲で、ASEPにおける2つの第二級粒子が最終的に衝突する確率は正確に $(1+p)/3p$ である。
• この衝突確率は、基本的カップリングによって結合された2つのASEP過程が最終的に同じ状態に達する確率に等しい。
• 完全非対称的状況（$p=1$）では、系に多種粒子系の表現が存在し、粒子の相互作用を分析するのに役立つ。
• 衝突結果を用いて、$p=1$ における2種類のクラスターが共存する確率を導出可能である。
• 指定された初期条件の下で、ASEPの流体力学的極限はバーガース方程式の拡散ファン解に収束し、系のマクロな挙動と整合的である。