[論文レビュー] Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations

Lily Yen|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、r色付き置換における交差とネスト統計の対称的連関分布を確立し、マッチングおよび集合分割に関する先行研究を拡張する。新規の単射と有限状態オートマトンによる転送行列モデルを用いて、j-非交差、k-非ネスト、r色付き置換の通常型母関数が有理関数であることを証明し、最大5色までMapleコードによる自動列挙が可能である。

ABSTRACT

The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all $j$-noncrossing, $k$-nonnesting, $r$-coloured permutations according to size $n$ are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations.

研究の動機と目的

• マッチングおよび集合分割から、弧色付き置換への交差とネスト統計の対称的等分布の拡張を図ること。
• マーベルグ（Marberg）の色付き集合分割に関する有理母関数結果およびチェンとクォー（Chen & Guo）の色付きマッチングに関する結果を、r色付き置換へ一般化すること。
• j-交差とk-ネストを有する置換と、k-交差とj-ネストを有する置換との間で、色構造を保ちながら構成的単射を構築すること。
• 有限状態オートマトンと転送行列法を用いて、非交差および非ネストr色付き置換の有理母関数の生成を自動化すること。

提案手法

• テーブルのような対象と強化された交差・ネストの定義を用いて、j-交差とk-ネストを有するr色付き置換と、k-交差とj-ネストを有する置換との間の単射を構築する。
• r色付き非交差および非ネスト置換の状態空間を、頂点が色別に開いている弧の集合を表し、辺が有効な遷移を表す有限グラフとしてモデル化する。
• 開いている弧の集合の対称差に基づいて、これらのグラフの隣接行列を定義し、対角成分はループの数を、非対角成分は状態遷移の整合性を示す。
• 転送行列法を適用して、行列の小行列式の比として母関数を計算し、有理関数を得る。
• Mapleを用いて構成を実装し、再帰的状態分類と組み合わせ選択（combinat[choose]）を用いて、集合分割および置換の両方の隣接行列を構築する。
• 転送行列から得られる有理関数の級数展開により、母関数の系列を計算することで、列挙を自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッチングおよび集合分割と同様に、r色付き置換に対しても交差とネスト統計の対称的連関分布が成り立つか？
• RQ2 j-非交差、k-非ネスト、r色付き置換の通常型母関数が有理関数であることを示せるか？
• RQ3 r色付き設定において、j-交差とk-ネストを有する置換と、k-交差とj-ネストを有する置換との間で、構成的単射が存在するか？
• RQ4 r色付き非交差および非ネスト置換の状態空間を有限オートマトンとしてモデル化し、アルゴリズム的列挙を可能にできるか？

主な発見

• マッチングおよび集合分割の結果を一般化し、r色付き置換においても交差とネスト統計の対称的連関分布が確立された。
• j-非交差、k-非ネスト、r色付き置換の通常型母関数が有理関数であることが証明され、マーベルグの結果が置換へ拡張された。
• テーブルのような変換を用いて、交差数とネスト数を入れ替える単射が構成され、色構造と弧の種別が保たれた。
• 本稿では、r色付き集合分割および置換の両方について、状態グラフの隣接行列を明示的に生成するMapleコードを提供し、有理母関数の自動計算を可能にした。
• 本手法により、置換では最大5色、集合分割では最大7色まで有理母関数が正しく計算可能であり、行列サイズは最大256×256に達する。
• r色付き置換では、隣接行列のサイズが急激に増大し、5色で252×252に達するが、この先では行列式の計算が複雑すぎて計算不能となる。