[論文レビュー] Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions

Svetlana Poznanovik, Catherine H. Yan|ArXiv.org|Oct 9, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、集合分割における交差とネスティングに関するクラザル型の同値性を確立し、2つの分割がその分割木の最初の2レベルにおいて交差とネスティングの分布を同一に持てば、この同値性はすべてのレベルおよびすべてのブロック数にまで拡張されることを証明する。著者らは、集合分割に新たな木構造を導入し、母関数と連分数を用いて、交差とネスティングの連立母関数の閉形式連分数展開を導出する。これは、一般の集合分割（任意のブロック構造を有する）へとマッチングに関する先行結果を一般化するものである。

ABSTRACT

Let $π$ and $λ$ be two set partitions with the same number of blocks. Assume $π$ is a partition of $[n]$. For any integer $l, m \geq 0$, let $\mathcal{T}(π, l)$ be the set of partitions of $[n+l]$ whose restrictions to the last $n$ elements are isomorphic to $π$, and $\mathcal{T}(π, l, m)$ the subset of $\mathcal{T}(π,l)$ consisting of those partitions with exactly $m$ blocks. Similarly define $\mathcal{T}(λ, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$. We prove that if the statistic $cr$ ($ne$), the number of crossings (nestings) of two edges, coincides on the sets $\mathcal{T}(π, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l)$ for $l =0, 1$, then it coincides on $\mathcal{T}(π, l,m)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$ for all $l, m \geq 0$. These results extend the ones obtained by Klazar on the distribution of crossings and nestings for matchings.

研究の動機と目的

• マッチングにおける交差とネスティングに関するクラザルの結果を一般の集合分割へ拡張すること。
• マッチング木を一般化するが、分割のより豊かなブロック構造を尊重する、集合分割上に新たな無限木構造を定義すること。
• 2つの分割がそれぞれの木におけるレベル $ l=0 $ および $ l=1 $ で同一の交差およびネスティング統計量を持つならば、この同一性がすべてのレベルおよびすべてのブロック数で成立することを証明すること。
• 任意の与えられた分割を根とする交差とネスティングの連立母関数の連分数展開を導出すること。
• モーツキン経路、シャーラー図、および2進列を組合せ的道具として用いて、母関数の明示的公式を提供すること。

提案手法

• すべての集合分割上に根付き木 $\mathcal{T}(\Pi)$ を定義し、$[n+1]$ の分割 $\pi$ が $[n]$ の分割 $\lambda$ の子であるとは、$\pi$ を $\{2,\dots,n+1\}$ に制限したものが $\lambda$ と順序同型であるときを意味する。
• $\mathcal{T}(\pi,l)$ を根 $\pi$ の木におけるレベル $l$ の分割の集合とし、$\mathcal{T}(\pi,l,m)$ をちょうど $m$ 個のブロックをもつものを表す。
• 生成関数 $b_{l,r}$ を用い、$\mathcal{T}(\pi,l)$ 内の分割における $cr(\lambda)\alpha + ne(\lambda)\beta$ の多重集合を符号化する。再帰関係には $[r+1]_{q,p} = \frac{q^{r+1}-p^{r+1}}{q-p}$ が関与する。
• $b_{l,r}$ に対する再帰関係を確立する：$b_{l,r} = b_{l-1,r-1} + (1 + [r+1]_{q,p})b_{l-1,r} + [r+1]_{q,p}b_{l-1,r+1}$。これは重み付き経路数え上げによってレベルを結ぶ。
• $(l,0)$ から $(0,s)$ への経路を、ステップ $(-1,0)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$ でモデル化し、$[r+1]_{q,p}$ および $1+[r+1]_{q,p}$ に基づく重みを割り当てることで、生成関数 $S_\pi(q,p,z)$ を連分数に結びつける。
• 連分数展開 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$ を導出する。ここで $K_s(z)$ は $[r]_{q,p}$ および $[r]_{q,p}+1$ の係数を含む連分数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの集合分割 $\pi$ と $\lambda$ が、それぞれの木におけるレベル $l=0$ および $l=1$ で同じ交差数とネスティング数を持つならば、この同一性はすべてのレベル $l \geq 0$ およびすべてのブロック数 $m \geq 0$ にまで拡張されるか？
• RQ2 ある与えられた $\pi$ を根とする交差とネスティングの連立母関数は、連分数として表現可能か？
• RQ3 ブロック数が $k$ 個の分割 $\pi$ に対する生成関数 $S_\pi(q,p,z)$ の構造は何か？また、$x_i = u_i\alpha + v_i\beta$ として表されるブロック寄与の系列にどのように依存するか？
• RQ4 モーツキン経路や2進列といった組合せ的対象は、$b_{l,r}$ の再帰的構造および母関数構造をどのように符号化するか？
• RQ5 すべての集合分割にわたる全母関数の異なる連分数形式の間には変換が存在するか？もしそうならば、それらを結ぶ恒等式は何か？

主な発見

• もし $\mathcal{T}(\pi,l)$ と $\mathcal{T}(\lambda,l)$ において $cr$ と $ne$ の統計量が $l=0,1$ で一致するならば、すべての $l,m \geq 0$ に対して $\mathcal{T}(\pi,l,m)$ と $\mathcal{T}(\lambda,l,m)$ においても一致し、強い不変性性質が確立される。
• 生成関数 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{l \geq 0} b_{l,0} z^l$ は連分数展開 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$ を持ち、ここで $K_s(z)$ は係数 $[r+1]_{q,p}$ および $1 + [r+1]_{q,p}$ を含む連分数である。
• 単一ブロック分割 $\pi = \{1\}$ の場合、生成関数は $S_{\{1\}}(q,p,z) = \cfrac{1}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$ に簡略化される。
• すべての集合分割にわたる全生成関数は $\sum_{n \geq 0} \sum_{\lambda \in \Pi_n} q^{cr(\lambda)} p^{ne(\lambda)} z^n = 1 + \cfrac{z}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$ に等しい。
• $b_{l,r}$ は $[r+1]_{q,p}$ を含む再帰関係を満たし、これにより重み付き格子上の経路数え上げによって連分数が構成可能である。
• 既知の縮約公式により、連分数形 (5.5) と (5.6) は同等であり、母関数の異なるパrametrization間での一貫性が示された。