[論文レビュー] Crystalline cohomology and de Rham cohomology

Bhargav Bhatt, A. J. de Jong|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、微分幾何的道具（pd-層構造や線形化）を用いずに、有限体上の滑らか多様体におけるクリスタリンコhomologyとde RhamコhomologyのBerthelotの比較同型写像を、Čech理論的アプローチで再証明する。主な結果は、滑らか $\mathbf{F}_p$-多様体のクリスタリンコhomologyが、$\mathbf{Z}_p$ 上の任意の上げにおけるde Rhamコホモロジーに同型であることを示し、形式的倍厚化上のde Rham複体のハイパーコホモロジーを通じた新しい視点を提供する。

ABSTRACT

The goal of this short paper is to give a slightly different perspective on the comparison between crystalline cohomology and de Rham cohomology. Most notably, we reprove Berthelot's comparison result without using pd-stratifications, linearisations, and pd-differential operators.

研究の動機と目的

• pd-層構造、線形化、またはpd微分作用素に依存しないBerthelotのクリスタリン・de Rhamコホモロジー比較同型写像の再証明を目的とする。
• Čech理論的手法を用いて、クリスタリンコホモロジーとde Rhamコホモロジーの関係をより初等的かつ明快な視点から提示すること。
• 滑らか $\mathbf{F}_p$-多様体のクリスタリンコホモロジーと、その $\mathbf{Z}_p$ 上への上げにおけるde Rham複体との直接的な関係を確立すること。
• 準正則層の層の水晶的構造と平坦接続を持つ層への一般化を通じて、係数を含む比較結果を拡張すること。
• クリスタリンコホモロジーの $p^e$ での還元に関する基底変換の性質を分析し、導来基底変換が成り立つ条件を同定すること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathbf{Z}_p$ 上の多様体 $X$ の形式的倍厚化 $T$ 上のde Rham複体のハイパーコホモロジーを用いて、クリスタリンコホモロジーをČech理論的アプローチで計算する。
• 水晶的層 $\mathcal{F}$ に対して、自然な接続 $\nabla:\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \Omega^1_{S/\Sigma}$ を定義し、これが可積分的であり、de Rham複体を生成することを示す。
• 鍵となる技術的道具は、$\Omega^1_{S/\Sigma}$ と $\mathcal{I}/\mathcal{I}^{[2]}$ の同一視であり、ここで $\mathcal{I}$ は除法的冪包 $T(1)$ 内の対角のイデアルである。
• 滑らか $\mathbf{F}_p$-多様体 $X$ が $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z}_p)$ 上に上げられる場合、その上げ上のde Rham複体がハイパーコホモロジーを通じてクリスタリンコホモロジーを計算することに依拠している。
• 導来基底変換と平坦性の仮定を用いて、適切な条件下で $R\Gamma(S/\Sigma, \mathcal{F}) \otimes^L_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/p^e \simeq R\Gamma(S/\Sigma_e, \mathcal{F}|_{S/\Sigma_e})$ を示す。
• $(S/\Sigma)_{\text{cris}}$ 上の準正則層の水晶的層と $X$ 上の平坦接続を持つ準正則層との間の同値関係を確立し、コホモロジーを保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリスタリンコホモロジーとde Rhamコホモロジーの比較同型写像は、pd-層構造や線形化を用いずに再証明可能か？
• RQ2 形式的倍厚化上のde Rham複体と直接関係する、Čech理論的記述はクリスタリンコホモロジーに存在するか？
• RQ3 $\mathbf{Z}_p \to \mathbf{Z}/p^e$ に沿った導来基底変換が成り立つ条件は何か？
• RQ4 水晶的層における係数は、de Rham設定における平坦接続とどのように関係するか？
• RQ5 クリスタリンコホモロジーにおける基底変換の障害は何か？ そして、それらはいつ消えるか？

主な発見

• 本稿は、微分幾何的道具（pd-層構造や線形化）を一切用いずに、Berthelotの比較定理（定理3.6）を新しいČech理論的アプローチで再証明する。
• 滑らか $\mathbf{F}_p$-多様体 $X$ が $\mathbf{Z}_p$ 上に上げられる場合、クリスタリンコホモロジー $R\Gamma(X/\Sigma, \mathcal{O}_{X/\Sigma})$ は、$\mathbf{Z}_p$ 上のその上げにおけるde Rhamコホモロジーに同型である。
• 上げ $T$ 上の準正則層 $\mathcal{M}$ のde Rham複体は、$(X/\Sigma)_{\text{cris}}$ 上の対応する水晶的層 $\mathcal{F}$ のクリスタリンコホモロジーを計算する。
• $(S/\Sigma)_{\text{cris}}$ 上の準正則層の水晶的層と、$X$ 上の平坦接続を持つ準正則層との間の同値関係を確立し、コホモロジーを保存する。
• $\mathbf{Z}/p^e$ 上での層の平坦性仮定のもとで、導来基底変換が成り立つ：$R\Gamma(S/\Sigma, \mathcal{F}) \otimes^L_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}/p^e \simeq R\Gamma(S/\Sigma_e, \mathcal{F}|_{S/\Sigma_e})$。
• 本稿は、層が $\mathbf{Z}_p$ 上平坦でない場合、導来テンソル積が負のコホモロジーを持つことがあることから、反例（例3.11）を構成し、一般には基底変換が成立しないことを示している。