[論文レビュー] Crystallographic groups and flat manifolds from complex reflection groups

Iván Marín|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ブレード群から複素反射群へ構成を一般化し、一般化ブレード群 $B$ の純ブレード群 $P$ の交換子群による商 $B/(P,P)$ が、2- torsion を持たない結晶群であることを示している。これにより、商群 $W/Z(W)$ 内の2部分群の逆像を用いて、 Bieberbach群（したがってコンパクトな平坦多様体）を体系的に構成可能となり、このような多様体がKähler構造をもつための条件も得られる。

ABSTRACT

Following an idea of Gon\\c{c}alvez, Guaschi and Ocampo on the usual braid group we construct crystallographic and Bieberbach groups as (sub)quotients of the generalized braid group associated to an arbitrary complex reflection group.

研究の動機と目的

• Gonçalves, Guaschi, Ocampo のブレード群に関する結果を、複素反射群の一般化ブレード群へ拡張すること。
• 一般化ブレード群 $B$ の純ブレード群 $P$ の交換子群 $(P,P)$ による商 $B/(P,P)$ が、常に2- torsion を持たない結晶群であることを証明すること。
• 複素反射群から、$W/Z(W)$ 内の2部分群の逆像を用いて、 Bieberbach群（したがってコンパクトな平坦多様体）を体系的に構成する方法を提供すること。
• Springer の正規元の理論を用いて $B/(P,P)$ 内の有限位数元を分類し、'自由に正規な数' と呼ばれる概念を導入すること。
• 2部分群のホロノミー表現とキャラクターテーブルの解析を通じて、結果として得られる平坦多様体がKähler構造をもつための条件を特定すること。

提案手法

• 複素反射群 $W$ に関連する一般化ブレード群 $B$ を、反射超平面の補集合の基本群として定義する。
• 純ブレード群 $P$ を用いて商 $B/(P,P)$ を構成し、短完全列 $1 \to \mathbb{Z}^N \to B/(P,P) \to W \to 1$ が成り立つことを示し、これが結晶群であることを証明する。
• 正規数の性質と $P$ のアーベル化に関連する整数 $\kappa(W)$ を用いて、$B/(P,P)$ が位数2の元を含まないことを証明する。
• 群が $p$- torsion を持たない場合、ホロノミー商内の任意の $p$-部分群の逆像はねじれ自由であるという基準を適用し、 Bieberbach群が得られることを示す。
• Springer の正規元理論を用いて $B/(P,P)$ 内の有限位数元を分類し、このような元の位数としての '自由に正規な数' を定義する。
• ホロノミー表現の解析を通じてKähler条件を確認する：平坦多様体がKählerであるためには、複素次元が偶数であり、直交的／実既約成分が偶数重で現れる必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレード群から結晶群および Bieberbach 群を構成する手法を、複素反射群へ一般化できるか？
• RQ2 一般化ブレード群 $B$ の純ブレード群 $P$ の交換子群 $(P,P)$ による商 $B/(P,P)$ は、常に2- torsion を持たない結晶群となるか？
• RQ3 $B/(P,P)$ 内の元の可能な有限位数は何か？ また、それらは群の構造および $\kappa(W)$ とどのように関係しているか？
• RQ4 結果として得られる平坦多様体がKähler構造をもつのはどのような条件下か？
• RQ5 どの例外的複素反射群が、この構成によってKähler平坦多様体を生成するか？

主な発見

• 任意の複素反射群 $W$ に対して、商 $B/(P,P)$ は常に結晶群である。これはブレード群の結果を一般化する。
• $B/(P,P)$ は位数2の元を含まず、$W/Z(W)$ 内の2部分群の逆像がねじれ自由な Bieberbach 群を生成することを保証する。
• 例外的群 $G_5, G_6, G_9, G_{13}, G_{17}, G_{18}, G_{21}, G_{25}$ に対して、この構成により、それぞれ実次元 8, 10, 18, 18, 42, 32, 50, 12 のKähler多様体が得られる。
• 奇数 $m \geq 3$ に対して、$W = I_2(2m)$ のような二面体型群は、任意の反射によって生成される2部分群に対してKähler多様体を生成する。これは、反射超平面の集合への作用に起因する。
• $G_6$ とホロノミー $\mathfrak{A}_4$ を持つ平坦多様体はKählerであるが、$G_4$ の場合は2- Sylow部分群に対してもKählerでない。
• 有限位数元の位数としての '自由に正規な数' は、$\kappa(W)$ を用いて完全に特徴づけられ、これらの数は常に $\kappa(W)$ と互いに素である。