[論文レビュー] Cubature methods to solve BSDEs: Error expansion and complexity control

Jean-François Chassagneux, Camilo Andrés García Trillos|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2017

Simulation Techniques and Applications参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ウィーナー空間上のキューブチャチャー法を用いて、マコリアン後方ストキャスティック微分方程式（BSDE）を解く高次数の数値的手法を提示する。明示的な誤差展開が得られ、リチャードソン＝ロムバーグ補外を用いた収束加速が可能となる。スパースグリッド補間射影を導入することで、特に有限グリッド上の線形補間によって、精度を保ちながら計算複雑度を顕著に低減する。

ABSTRACT

We obtain an explicit error expansion for the solution of Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) using the cubature on Wiener spaces method. The result is proved under a mild strengthening of the assumptions needed for the application of the cubature method. The explicit expansion can then be used to construct implementable higher order approximations via Richardson-Romberg extrapolation. To allow for an effective efficiency improvement of the interpolated algorithm, we introduce an additional projection on finite grids through interpolation operators. We study the resulting complexity reduction in the case of the linear interpolation.

研究の動機と目的

• マコリアンBSDEにキューブチャチャー法を適用する際の明示的誤差展開を、やや弱い正則性仮定のもとで導出すること。
• 導出された誤差展開を用いて、基礎的な離散化ステップを増加させることなく、リチャードソン＝ロムバーグ補外により高次収束スキームを構築すること。
• 補間作用素による有限グリッドへの射影を導入することで、キューブチャチャーに基づくBSDEソルバーの計算複雑度を低減すること。
• 特に線形およびスパースグリッド補間を用いた場合の、補間されたキューブチャチャー法における複雑度-性能トレードオフの分析と最適化。
• BSDEおよび関連する非線形PDEの数値的解法における理論的・実用的効率性の向上を確立すること。

提案手法

• 正則性条件を強化した状態（仮定1.2）の下で、ウィーナー空間上でのキューブチャチャー法を用いたBSDEの弱近似に対する明示的誤差展開を導出する。
• 誤差展開にリチャードソン＝ロムバーグ補外を適用し、基礎的な離散化ステップを増加させることなく高次収束スキームを構築する。
• 解を有限グリッド上に射影するための射影ステップを導入し、計算コストを低減しながら精度を維持する。
• 線形およびスパースグリッド補間（次数$p$のスパースグリッドノード空間を介して）を用いて、近似に必要なグリッド点の数を最小化する。
• キューブチャチャー測度$\hat{\mathbb{Q}}$の下での条件付き期待値を用いて、グリッド点$D_i$における近似解$\check{u}_i(x)$および$\check{v}_i(x)$を計算するように後退スキームを修正する。
• 再帰的更新によりスパース・キューブチャチャー後退スキームを定義する：$\check{u}_i(x) = \pi_{\mathcal{V}_{p_i - d + 1}}^{D_i}[ \mathbb{E}^{\hat{\mathbb{Q}}}[\check{u}_{i+1}(\hat{X}^{t_i,x}_{t_{i+1}})] + h_i f(\cdot, \check{u}_i, \check{v}_i) ](x)$、ここで$\check{v}_i(x)$はマーチングル差分項を介して計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコリアンBSDEにキューブチャチャー法を適用する際、正則性仮定をやや強化した条件下で、明示的誤差展開を導出可能か？
• RQ2 導出された誤差展開をどのように活用して、リチャードソン＝ロムバーグ補外により高次収束スキームを構築できるか？
• RQ3 補間を用いた有限グリッドへの解の射影が、キューブチャチャーに基づくBSDEソルバー全体の複雑度と精度に与える影響は何か？
• RQ4 スパースグリッド補間を用いることで、フルグリッド補間と比較して計算複雑度をどの程度低減できるか、かつ収束速度を維持できるか？
• RQ5 キューブチャチャー法と補間ベースのグリッド射影を組み合わせることで、理論的および実用的にどの程度の複雑度低減が達成されるか？

主な発見

• 仮定1.2の下で、ウィーナー空間上でのキューブチャチャー法に対する明示的誤差展開が導出され、リチャードソン＝ロムバーグ補外により高次収束が可能となる。
• 誤差展開は係数、テスト関数、生成子の構造に依存することを示し、体系的な収束加速の根拠を提供する。
• 特に線形およびスパースグリッド補間を用いた有限グリッド上での補間は、評価点の数を顕著に削減しながら精度を損なわない。
• スパースグリッド実装では、$d$次元問題において、フルグリッドの$\mathcal{O}(n^d)$と比較して、複雑度が$\mathcal{O}(n^{d-1})$に比例して低減される。誤差の劣化は最小限に抑えられる。
• 理論的解析により、スパースグリッド補間の誤差が$\mathcal{O}(n^{-\gamma(\beta^* - \beta + 1) + 1})$で制御されることを確認した。ここで$\gamma$および$\beta$は、解およびテスト関数の正則性に関連する。
• 最終的なアルゴリズムは、$\cup_{i=0}^{n-1}\{t_i\} \times D_i^{\blacksquare}$というより大きな定義域上で定義され、再計算なしに中間点での効率的な評価が可能となる。