[論文レビュー] Cube-Like Polytopes and Complexes

Andrew C. Duke, Egon Schulte|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、立方体に類似した組合せ的構造の一般化として、Danzerのパワーコンプレックス構成を導入・形式化し、このようなコンプレックス間の被覆写像が存在するための条件を確立する。被覆写像がパワーコンプレックス間で存在するための必要十分条件は、頂点ファイバー写像が全単射であることであると証明し、抽象的ポリトープ理論における正則マップおよび立方体被覆分割に関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to popularize Danzer's power complex construction and establish some new results about covering maps between two power complexes. Power complexes are cube-like combinatorial structures that share many structural properties with higher-dimensional cubes and cubical tessellations on manifolds. Power complexes that are also abstract polytopes have repeatedly appeared somewhat unexpectedly in various contexts, although often under a different name. However, the non-polytope case is largely unexplored.

研究の動機と目的

• Danzerのパワーコンプレックス構成、すなわち高次元の立方体や立方体被覆分割に類似した性質を有する立方体に類似した組合せ的構造のクラスを広く知らせる。
• 特に等ファイバー写像および頂点ファイバー全単射の下で、パワーコンプレックス間の被覆写像に関する新しい結果を確立する。
• 抽象的ポリトープでない可能性のあるパワーコンプレックスを分析することにより、インシデントコンプレックスの理論を拡張し、従来のポリトープ理論の範囲を超える。

提案手法

• 本稿では、サイズnの頂点集合を用いたベースコンプレックスのカルテジアン積に類似した構成によって得られるインシデントコンプレックスとしてパワーコンプレックスを定義する。
• 各頂点がターゲットコンプレックスの各頂点にちょうどl個の逆像を持つような、ベースコンプレックス間の等ファイバー被覆の概念を導入する。
• 群作用とラベリング関数gを用いてフラッグおよび頂点ラベルを上げることで、n^Kとm^Lの間の弱被覆写像π^γ,gを構成する。
• π^γ,gが被覆写像であるための必要十分条件は、ラベリング関数gがパワーコンプレックスの頂点集合間の全単射であることであると証明する。
• インシデントコンプレックスのフラッググラフおよびエッジラベリング構造を用いて、パワーコンプレックス内の隣接関係および接続性を分析する。
• 理論を正多角形に適用し、具体的な例を構成する。例えば、2^{2p} → 4^p という被覆は、Coxeterの正則マップ{4,2p|4^{p−1}}に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インシデントコンプレックスから構成された2つのパワーコンプレックス間で、被覆写像が存在する条件は何か？
• RQ2 頂点ファイバー写像gの構造は、パワーコンプレックス間の被覆写像の持ち上げにどのように影響するか？
• RQ3 ベースコンプレックスの等ファイバー被覆と、それらのパワーコンプレックス間の写像との関係は何か？
• RQ4 弱被覆が実際に強い被覆（すなわち被覆写像）であるのはいつか？
• RQ5 Coxeterの{4,2p|4^{p−1}}のような既知の正則マップは、どのようにパワーコンプレックス構成から得られるか？

主な発見

• パワーコンプレックスn^Kとm^Lの間で被覆写像π^γ,gが存在するための必要十分条件は、頂点ラベリング関数gが全単射であることである。これにより、頂点間に一対一対応が保証される。
• パワーコンプレックス構成は、ベースコンプレックスKの組合せ的構造を保存する。n^Kは、Kの頂点数v(K)に対してn^{v(K)}個の頂点を持つ。
• gが全単射であるとき、被覆写像π^γ,gは頂点上で単射であり、すべてのランクにおいて隣接関係を保つ。
• この構成は、Coxeterの正則マップ{4,2p|4^{p−1}}のような既知の例を一般化する。このマップは、被覆2^{2p} → 4^pとして現れる。
• 有限正多角形K={2p}およびL={p}に対して、中心対称性が等ファイバー被覆γ:K→Lを誘導し、ファイバーのサイズはl=2である。この被覆は、それらのパワーコンプレックス間の被覆に持ち上がる。
• 理論により、パワーコンプレックスが抽象的ポリトープに限られるわけではないことが示され、多くの場合、ポリトープではないが、豊かな組合せ的および被覆理論的構造を有する。