[論文レビュー] Cubical approximation for directed topology I

Sanjeevi Krishnan|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、方向付きトポロジーにおける立方体的および単体的近似定理を確立し、立方体的集合とストリームを用いた方向付きホモトピー不変量の計算フレームワークを導入する。コンパクトで四角形分割可能なストリームに対して、弱いおよび強い方向付きホモトピー関係が一致することを証明し、立方体的近似を通じて方向付きコホモロジー理論の取り扱い可能な計算を可能にする。

ABSTRACT

Topological spaces - such as classifying spaces, configuration spaces and spacetimes - often admit extra temporal structure. Qualitative invariants on such directed spaces often are more informative yet more difficult to calculate than classical homotopy invariants on underlying spaces because directed spaces rarely decompose as homotopy colimits of simpler directed spaces. Directed spaces often arise as geometric realizations of simplicial sets and cubical sets equipped with temporal structure encoding the orientations of simplices and 1-cubes. In an attempt to develop calculational tools for directed homotopy theory, we prove appropriate simplicial and cubical approximation theorems. We consequently show that geometric realization induces an equivalence between weak homotopy diagram categories of cubical sets and directed spaces and that its right adjoint satisfies an excision theorem. Along the way, we give criteria for two different homotopy relations on directed maps in the literature to coincide.

研究の動機と目的

• 古典的な単体的および立方体的近似を方向付き設定に一般化する方向付き空間の近似定理を開発すること。
• 立方体的集合とストリームのためのホモトピー理論を、方向付き幾何的実現と整合性を持つように確立すること。
• コンパクト性および四角形分割可能性の下で、二つの異なる方向付きホモトピーの定義（弱いおよび強い）が同等であることを証明することで統一すること。
• 剛体な組み合わせ的モデル（立方体的集合）と柔軟な位相的モデル（ストリーム）を関連付けることで、方向付きコホモロジー理論の計算ツールを提供すること。
• 既存のツール（例：セル近似やプロダクト単体的近似）を、高次元の方向付き経路構造へと拡張すること。

提案手法

• 方向付き空間の組み合わせ的モデルとして立方体的集合と単体的集合を用い、方向性を符号化する順序論的構造を備える。
• 立方体的集合および単体的集合を位相的ストリームに幾何的に実現する関手 ↿−⇂: ˆ□→S および ↿−⇂: ˆ∆→S を導入する。
• 立方体的集合と単体的集合のモデルを関連付けるために、辺方向分割（sd）および三角形分割（tri）関手を適用し、随伴の可換図式を構成する。
• 余コENDおよび商対象の構成を用いて幾何的実現を定義し、有限積の保存や単射埋め込みの保存を含む関手的性質を検証する。
• ズイ・ザッグ恒等式および自然変換を用いて、特に sd および実現関手を含む随伴対における合成関手のホモトピー同値性を証明する。
• 単位区間の局所的順序付き構造を備えた単調写像を用いて定義される強い方向付きホモトピーの定義に基づき、ストリームのためのホモトピー理論を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリーム間の写像における弱いおよび強い方向付きホモトピー関係が、どのような条件下で一致するか。
• RQ2 古典的なホモトピー拡張性質が失敗する方向付き設定において、単体的および立方体的近似定理をどのように適合できるか。
• RQ3 ストリーム実現関手 ↿−⇂: ˆ□→S および ↿−⇂: ˆ∆→S が満たす関手的性質（特に積および埋め込みに関して）は何か。
• RQ4 複数回の分割（例：四重立方体的分割）が、局所的に代表的立方体的集合へどのように因数分解されるか。
• RQ5 方向性の存在下で、立方体的および単体的モデルを用いた方向付きコホモロジー理論を体系化するにはどうすればよいか。

主な発見

• 関手 ↿−⇂: ˆ∆→S は有限積を保存するため、方向付きホモトピー理論における積構造と整合性を持つ。
• 関手 ↿−⇂: ˆ□→S は単射をストリーム埋め込みに写し、立方体的集合の組み合わせ的構造が位相的実現においても保存される。
• コンパクトで四角形分割可能なストリームに対して、弱いおよび強い方向付きホモトピーの定義が生成する同値関係が等価であることが示され、先行研究の前例（前立方体的集合）を一般化する。
• 三角形分割とその右随伴の合成は連続的であるが、これは幾何的実現とその随伴の合成には成り立たない性質であり、ホモトピー的計算において重要である。
• 辺方向分割および三角形分割関手は、実現関手と可換図式を形成し、単体的および立方体的モデル間の体系的な比較を可能にする。
• 合成関手のホモトピー同値性の証明は、ズイ・ザッグ恒等式および自然変換に依拠しており、実現関手はホモトピー同値性を ↭ まで保存する。