[論文レビュー] Cubical Categories for Higher-Dimensional Parametricity

Patricia Johann, Kristina Sojakova|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、System FにおけるReynoldsの関係的パラメトリシティをすべての有限および無限次元に一般化するため、p次元の立方体圏を導入する。型は面写像および縮約を保存する立方体関手として、項は立方体自然変換として解釈される統一的な枠組みを構築し、split λ2-ファイブレーションを生成する。これにより、ReynoldsのモデルやPERモデルといった既知のモデルが1次元の例として回復され、主要なパラメトリシティ結果の高次元版が導かれる。

ABSTRACT

Reynolds' theory of relational parametricity formalizes parametric polymorphism for System F, thus capturing the idea that polymorphically typed System F programs always map related inputs to related results. This paper shows that Reynolds' theory can be seen as the instantiation at dimension 1 of a theory of relational parametricity for System F that holds at all higher dimensions, including infinite dimension. This theory is formulated in terms of the new notion of a p-dimensional cubical category, which we use to define a p-dimensional parametric model of System F for any p, where p is a natural number or infinity. We show that every p-dimensional parametric model of System F yields a split $λ$ 2-fibration in which types are interpreted as face map- and degeneracy-preserving cubical functors and terms are interpreted as face map- and degeneracy-preserving cubical natural transformations. We demonstrate that our theory is "good" by showing that the PER model of Bainbridge et al. is derivable as another 1-dimensional instance, and that all instances at all dimensions derive higher-dimensional analogues of expected results for parametric models, such as a Graph Lemma and the existence of initial algebras and final coalgebras. Finally, our technical development resolves a number of significant technical issues arising in Ghani et al.'s recent bifibrational treatment of relational parametricity, which allows us to clarify their approach and strengthen their main result. Once clarified, their bifibrational framework, too, can be seen as a 1-dimensional instance of our theory.

研究の動機と目的

• ReynoldsのSystem Fにおける関係的パラメトリシティを次元1を超えて、すべての有限および無限次元に拡張すること。
• Ghaniらの双ファイブレーションフレームワークにおける技術的欠陥を解消し、より一般的かつ実装可能な理論を導入すること。
• 立方体圏を用いて、高次元パラメトリシティ、特に証明関連のものおよび無限次元のケースを形式化すること。
• 既知のパラメトリックモデル（例：ReynoldsのモデルやPERモデル）が、次元1における適切な例として新しい理論の一部であることを示すこと。
• 基本的なパラメトリシティ結果の高次元版、たとえばグラフ補題や初期代数および終末コアルゲブラの存在を導出すること。

提案手法

• 立方体集合を高次元に一般化したp次元の立方体圏の概念を導入すること。
• 型に対して面写像および縮約を保存する立方体関手を用い、項に対して自然変換を用いることで、System Fのp次元パラメトリックモデルを定義すること。
• 底カテゴリが型を捉え、全カテゴリが関係を捉えるsplit λ2-ファイブレーションを構築し、面写像および縮約の下で構造が保存されることを保証すること。
• 既存のモデルが1次元の例として埋め込まれることを示し、ReynoldsのオリジナルモデルやPERモデルを含む。
• 内部圏論を用いてGhaniらの双ファイブレーションアプローチを明確化・強化し、それが新しい理論の1次元の例であることを示すこと。
• 立方体構造を用いて、グラフ補題や初期／終末（コ）代数といったパラメトリシティ定理の高次元一般化が理論によって支えられることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ReynoldsのSystem Fにおける関係的パラメトリシティを、次元1を超えて自然に高次元に拡張できるか？
• RQ2 既知のモデル（例：PERモデルやReynoldsのオリジナルモデル）を適切に含む、一様かつ実装可能なパラメトリックモデルのフレームワークをどのように構築できるか？
• RQ3 立方体構造が、特に関係の保存と自然変換の保存において、高次元パラメトリシティをモデル化する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ4 Ghani らの双ファイブレーションフレームワークは、高次元の立方体的アプローチによって、関係的パラメトリシティ理論と完全に調和できるか？
• RQ5 無限次元パラメトリシティの意味は何か？また、ホモトピー型理論およびホモトピー正規性予想とはどのように関係するか？

主な発見

• 理論は、Reynoldsの1次元関係的パラメトリシティを、すべての次元 p ∈ ℕ ∪ {∞} に一般化することに成功した。
• Bainbridge らのPERモデルとReynoldsのオリジナルモデルが、ともに新しい立方体フレームワークの適切な1次元の例であることが示された。
• フレームワークは、グラフ補題や正の型式に対する初期代数および終末コアルゲブラの存在といった、主要なパラメトリシティ結果の高次元版を導出する。
• Ghani らの双ファイブレーションフレームワークは、新しい理論の1次元の例であることが示されたことで明確化され強化され、関手および自然変換の保存に関する以前の技術的問題が解決された。
• 理論は次元2における証明関連パラメトリシティをサポートしており、依存型理論における高次元一様性の形式化への道筋を示唆する。
• フレームワークは、将来の無限次元パラメトリシティの探求およびホモトピー型理論におけるホモトピー正規性予想との関連性の基盤を提供する。