[論文レビュー] Cubical cospans and higher cobordisms (Cospans in algebraic topology, III)

Marco Grandis|ArXiv.org|Jun 14, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高次元のコボルディズムのための2つのホモトピー安定なカテゴリカル構造を導入する：位相空間におけるコラーレスコスパンの弱い立方体カテゴリと、ホモトピー上のプッシュアウトを用いたより単純な準立方体カテゴリ。主な貢献は、退化写像とホモトピー上のプッシュアウトの合成を通じてホモトピー不変性を保証することによって、トポロジカル量子場理論（TQFT）を高次立方体次数へ拡張するフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

After two papers on weak cubical categories and {\it collarable} cospans, respectively, we put things together and construct a {\it weak} cubical category of cubical {\it collared} cospans of topological spaces. We also build a second structure, called a {\it quasi} cubical category, formed of arbitrary cubical cospans concatenated by homotopy pushouts. This structure, simpler but weaker, has {\it lax} identities. It contains a similar framework for cobordisms of manifolds with corners and could therefore be the basis to extend the study of TQFT's of Part II to higher cubical degree.

研究の動機と目的

• 位相空間におけるコラーレスコスパンの弱い立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$ を構成し、合成のホモトピー不変性を保証する。
• 通常のプッシュアウトが高次立方体構造においてホモトピー型を保存しないことの問題を扱う。
• 1次元から任意の立方体次数へと「コラーラブル」なコスパンを一般化し、高次元TQFTの構成を可能にする。
• シリンダ型退化写像とホモトピー上のプッシュアウトを用いた準立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ を導入し、厳密な恒等性を緩和する代わりに可逆な比較を許容する。
• 多様体の角付き構造とそのコボルディズムをカテゴリカルにモデル化することで、TQFTを2次元を超えて拡張する基盤を提供する。

提案手法

• 立方体カテゴリ $\bm{\wedge}^n$ から ${{\bf Top}}$ へのファンクターを用いて、コラーレスコスパンの弱い立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$ を構成し、プッシュアウトによって合成を定義する。
• シリンダ（コラーリング）の互いに交わらない埋め込みを許容するコラーラブルコスパンを定義し、ホモトピー上のプッシュアウトと整合性を保つ。
• 通常のプッシュアウトの代わりにホモトピー上のプッシュアウトを用いることで、ホモトピー不変性とコホモトピーおよび（コ）ホモロジーファンクターにおける安定性を保証する。
• シリンダ型退化写像 $E_i$ が標準的退化写像 $e_i$ を置き換えられ、単位比較が可逆でないため恒等性が緩い準立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ を導入する。
• $k$-次元多様体の角付き構造とその立方体コボルディズムの構造 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k) \subset \mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ を形式化し、高次TQFTを可能にする。
• 新しい構造が立方体的恒等式を同型を除いて満たし、準立方体の場合には比較が可逆である必要がないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間における立方体コスパンは、どのように構造化すれば高次元におけるホモトピー不変性を保証できるか？
• RQ2 コラーリングは、ホモトピーファンクター下でのコスパンの合成を安定化するために果たす役割は何か？
• RQ3 ホモトピー上のプッシュアウトとシリンダ型退化写像を用いて、厳密な恒等性を緩和しながらも本質的なカテゴリカル構造を保つ準立方体カテゴリを構築できるか？
• RQ4 新しい構造は、どのようにTQFTの枠組みを高次立方体次数へ拡張するか？
• RQ5 コラーレスコスパンの弱い立方体カテゴリと、ホモトピー上のプッシュアウトに基づく準立方体カテゴリの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• コラーレスコスパンの弱い立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm c}_{*}({\bf Top})$ が構成され、プッシュアウトがホモトピー上のプッシュアウトとして保証され、結果としてホモトピー不変性が維持される。
• コホモトピーおよび（コ）ホモロジーファンクターは、コラーラブルコスパンをそれぞれ集合とアーベル群における関係へ写像し、代数的不変量およびTQFTを生成する。
• シリンダ型退化写像 $E_i$ とホモトピー上のプッシュアウトが標準的演算に置き換えられた準立方体カテゴリ $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ が導入され、恒等性が緩やかになる。
• $k$-次元多様体の角付き構造とその立方体コボルディズムの構造 $\mathbb{C}{\rm OB}_{*}(k)$ が $\mathbb{C}{\rm OSP}_{*}({\bf Top})$ 内に埋め込まれ、高次TQFTのための枠組みを提供する。
• 準立方体設定では、退化写像の恒等法則が厳密に可逆でないことが示され、比較は同型ではあるが可逆ではないため、カテゴリカルな厳密性が緩和されている。
• コラーリングを必要とせず、ホモトピー上のプッシュアウトとシリンダ型恒等性を用いることで、モートンとベイズの2次元立方体TQFT枠組みを一般化する。