[論文レビュー] Cubical-like geometry of quasi-median graphs and applications to geometric group theory

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、CAT(0)立方体複体の一般化として準中央グラフを導入し、それらの幾何学的性質が完全にその超平面の組み合わせ構造によって決定されることを確立する。群がこれらのグラフに適切に作用する場合、そのクラスタ安定化部分群の性質に基づいて、群のグローバルな幾何的性質（例：双曲性、CAT(0)幾何、立方体性、ℓp-圧縮）を導くための枠組みを構築する。主な貢献は、群が準中央グラフに適切に作用し、クラスタ安定化部分群が非正曲率性質Pを満たすならば、全体の群も性質Pを満たす一般基準を示したことにある。

ABSTRACT

The class of quasi-median graphs is a generalisation of median graphs, or equivalently of CAT(0) cube complexes. The purpose of this thesis is to introduce these graphs in geometric group theory. In the first part of our work, we extend the definition of hyperplanes from CAT(0) cube complexes, and we show that the geometry of a quasi-median graph essentially reduces to the combinatorics of its hyperplanes. In the second part, we exploit the specific structure of the hyperplanes to state combination results. The main idea is that if a group acts in a suitable way on a quasi-median graph so that clique-stabilisers satisfy some non-positively curved property $\mathcal{P}$, then the whole group must satisfy $\mathcal{P}$ as well. The properties we are interested in are mainly (relative) hyperbolicity, (equivariant) $\ell^p$-compressions, CAT(0)-ness and cubicality. In the third part, we apply our general criteria to several classes of groups, including graph products, Guba and Sapir's diagram products, some wreath products, and some graphs of groups. Graph products are our most natural examples, where the link between the group and its quasi-median graph is particularly strong and explicit; in particular, we are able to determine precisely when a graph product is relatively hyperbolic.

研究の動機と目的

• CAT(0)立方体複体の幾何学的・組合せ的ツールを、より広い準中央グラフのクラスへ一般化すること。
• 準中央グラフの幾何学的性質が完全にその超平面の構造に符号化されていることを確立すること。
• クラスタ安定化部分群の性質に基づいて、非正曲率性質（例：双曲性、CAT(0)、立方体性）を群全体に伝える一般基準を構築すること。
• 特にグラフ積や図式積を含む具体的な群のクラスにこの枠組みを適用し、それらの幾何学的・代数的性質を同定すること。

提案手法

• CAT(0)立方体複体における超平面とセクターの概念を、辺上の同値関係を用いて準中央グラフへ拡張する。
• ゲーテッド部分グラフと射影を導入し、準中央グラフにおける凸性と凸包を分析する。
• ゲーテッド包、ピラミッド、平坦な長方形を定義・研究し、局所的およびグローバルな幾何学的性質を理解する。
• 準中央グラフに自然な距離δ₁を定義し、群の作用がこの構造を保存する場合を研究する。
• 壁空間の理論と立方体化を応用し、準中央グラフへの群の作用とℓp-圧縮、a-T-可解性の関係を関係づける。
• 超平面のインフレーションを用いて新しい準中央グラフを構成し、ねじれグラフ積や群のグラフ分解を介して群の作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群のグラフ積はいつ相対的双曲的か？
• RQ2 群が準中央グラフに作用するとき、いつ双曲的、CAT(0)、または立方体的という性質を引き継ぐか？
• RQ3 準中央グラフに作用する群のℓp-圧縮は、そのクラスタ安定化部分群の圧縮から決定可能か？
• RQ4 双順序可能な群の図式積は、常に双順序可能か？
• RQ5 ねじれグラフ積または右側アングルの群のグラフは、いつ特別な作用を持つ準中央グラフに作用するか？

主な発見

• グラフ積は、その基本グラフが木であり、かつ頂点群に自明な群が存在しない場合に限り、相対的双曲的である。
• 右側アングルの群のグラフの基本群は準中央グラフに作用するが、作用が特別であることは、超平面安定化部分群がリトラクトであるときに限り成り立つ。
• 有限群の図式積は、その基本図式群が再帰的有限であるとき、再帰的有限である。
• 準中央グラフに回転的（rotative）に作用する群はねじれグラフ積に分解され、この構成の逆も成立する可能性がある。
• 群が準中央グラフに-equivariantな条件下で作用するとき、そのℓp-圧縮は、クラスタ安定化部分群の最小ℓp-圧縮によって下から抑えられる。
• 群のカルテジアン立方体化の基本群は、準中央グラフにトピカルに推移的に作用し、単射が標準的埋め込みであるとき、作用は特別である。