[論文レビュー] Cubical Type Theory: A Constructive Interpretation of the Univalence Axiom

Cohen, Cyril, Coquand, Thierry+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 8被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、立方体集合や単体的集合などの洗練されたリーディー圏に基づく型理論的モデル圏において、2つの方法を用いて単調なユニバースを構成する。1つはヴォエヴォズキーの単体的構成への還元であり、もう1つは最小ファイブレーションによるヴォエヴォズキーの証明の直接的な一般化である。主な貢献は、内包的型理論にユニバーサル公理を加えたものについて、立方体集合のホモトピー論において厳密に解釈可能であることを示したことであり、ユニバーサル基礎の構成的かつ明示的なモデルを提供する。

ABSTRACT

This paper presents a type theory in which it is possible to directly manipulate $n$-dimensional cubes (points, lines, squares, cubes, etc.) based on an interpretation of dependent type theory in a cubical set model. This enables new ways to reason about identity types, for instance, function extensionality is directly provable in the system. Further, Voevodsky's univalence axiom is provable in this system. We also explain an extension with some higher inductive types like the circle and propositional truncation. Finally we provide semantics for this cubical type theory in a constructive meta-theory.

研究の動機と目的

• 洗練されたリーディー圏（立方体集合や単体的集合を含む）上のプレシェーブのモデル圏において、ユニバーサルユニバースの存在を確立すること。
• 立方体集合のホモトピー論において、内包的型理論にユニバーサル公理を加えたものに対する構成的かつ明示的なモデルを提供すること。
• ヴォエヴォズキーのユニバーサル性の証明を、アイレンバーグ＝ジリバー・リーディー圏に基づくモデル圏の広いクラスへ一般化すること。
• 強い適切性およびファイブレーション条件を活用して、モデル圏における型理論の解釈における整合性の問題を解決すること。

提案手法

• 洗練されたリーディー圏上のプレシェーブ圏におけるユニバーサルユニバースの構成を、既知の単体的集合のケースへの左クウォーレン同値を介して還元する。
• シュルマンの単体的プレシェーブにおけるユニバーサルユニバースに関する結果を用い、ホモトピー論的ランクアップの議論を適用して、ユニバースを局所定数モデル構造へ移行する。
• アイレンバーグ＝ジリバー・リーディー圏上のプレシェーブにおける最小ファイブレーションの理論を適用し、ヴォエヴォズキーのユニバーサル性証明を一般化する。
• 洗練されたローカルテスト圏上のプレシェーブにおけるグロテンディークモデル構造が強く適切であることを確立し、ユニバーサル性に不可欠なファイブレーション性およびランクアップ性を保証する。
• 代表的プレシェーブがコフェイブルであること、およびそれら上のファイブレーションが右ランクアップ性を満たすことを利用して、ユニバーサル性を検証する。
• 神経関手および要素の圏を用い、モデル構造における弱ホモトピー同値を∞-グループイドのホモトピー論に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体集合（接続付きまたは無しを含む）のモデル圏におけるユニバーサルユニバースを構成できるか？
• RQ2 ヴォエヴォズキーのユニバーサル性の証明は、アイレンバーグ＝ジリバー・リーディー圏上のプレシェーブ圏へ拡張可能か？
• RQ3 洗練されたローカルテスト圏上のプレシェーブにおけるグロテンディークモデル構造は強く適切か？ これによりファイブレーション性およびランクアップ性が保証されるか？
• RQ4 単体的プレシェーブにおけるユニバーサルユニバースを、元のプレシェーブ圏に厳密に引き戻すことは可能か？
• RQ5 一般の洗練されたローカルテスト圏において、代表的終域をもつ自然なトリビアルコフェイブルの生成集合は存在するか？

主な発見

• 洗練されたリーディー圏上の単体的プレシェーブの圏に、κ-小さなファイバーを分類するユニバーサルユニバースが存在する。
• 洗練されたローカルテスト圏上のプレシェーブにおけるグロテンディークモデル構造は強く適切であり、右適切性のもとでファイブレーション性およびランクアップ性を保証する。
• 単体的プレシェーブにおいて構成されたユニバーサルユニバースは、元のプレシェーブ圏におけるユニバーサルファイブレーションを誘導し、厳密な意味でユニバーサル性を保存する。
• シュルマンの単体的プレシェーブにおけるユニバーサルユニバースに関する結果を、立方体集合を含むより広いクラスの圏へ一般化する。
• 構成は明示的かつ構成的であり、高階圏論や抽象的∞-トポス理論に依存しない。
• この方法により、最小モデル構造によるファイブレーション性の検証と代表的写像による局所化を通じて、単体的プレシェーブにおけるユニバーサル性の新たな証明が得られる。