[論文レビュー] Cuf products and cuf sums of (quasi)-metrizable spaces in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、選択公理を含まないツェルメール＝フランケル集合論（ZF）における弱い選択公理と準距離化可能性の相互作用を調査する。ZFにおいて、可算個のcofinite cuf（可算個の有限集合の和集合）または可算無限集合の積集合が準距離化可能であるための必要十分条件は、すべての可算個のcuf集合の和集合がcufであることである。さらに、可算個の2点のハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的であるが準距離化可能でないZFモデルを構成し、弱い選択公理の下での一般位相における独立性結果を示している。

ABSTRACT

A cuf space (set, resp.) is a space (set, resp.) which is a countable union of finite subspaces (subsets, resp.). It is proved in $\mathbf{ZF}$ (with the absence of the axiom of choice) that all countable unions of cuf (denumerable, resp.) sets are cuf sets iff all countable products of cofinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable iff all countable products of one-point Hausdorff compactifications of infinite cuf (denumerable, resp.) spaces are quasi-metrizable. A countable product of one-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable iff it is quasi-metrizable. A model of $\mathbf{ZF}$ is shown in which a countable product two-point Hausdorff compactifications of denumerable discrete spaces is first-countable without being quasi-metrizable. Other relevant independence results are also proved.

研究の動機と目的

• ZF集合論における（準）距離化可能空間の可算積の準距離化可能性を決定づける弱い選択公理の役割を調査すること。
• すべての可算個のcuf集合の和集合がcufであるという命題と、cofinite cufまたは可算無限集合の積の準距離化可能性との間の論理的関係を明確にすること。
• 可算個の2点のハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的だが準距離化可能でないZFモデルを構成することで、独立性結果を確立すること。
• 選択公理が存在しない状況下で、コンパクトハウスドルフ準距離化可能空間がいつ距離化可能になるかを検討すること。

提案手法

• 選択公理を避けるZF集合論を基礎枠台として、cuf（可算個の有限集合の和集合）集合およびその積の位相的性質を分析する。
• cuf空間およびcuf和を用いて、位相的文脈における可算個の有限または可算無限集合の和集合を特徴付ける。
• 離散空間の1点ハウスドルフコンパクト化の概念を用いて反例を構成し、位相的性質を分析する。
• Loeb関数および可算選択公理（CAC）を用いて、ZFにおいてコンパクトで、ハウスドルフで、準距離化可能なLoeb空間が距離化可能であることを証明する。
• 可算個の2点のハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的だが準距離化可能でないZFモデルを特定的に構成し、標準的選択公理からの独立性を示す。
• 準距離から誘導される位相τ(d)とその共役位相τ(d⁻¹)に関連する双位相空間を分析し、距離化可能性と分離可能性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFにおいて、すべての可算個のcuf集合の和集合がcufであるという命題は、すべてのcofinite cuf（または可算無限）空間の可算積の準距離化可能性と論理的に同値か？
• RQ2 可算無限個の可算無限離散空間の1点ハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的であるならば、ZFにおいてその積は準距離化可能か？
• RQ3 可算個の2点のハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的だが準距離化可能でないZFモデルを構成できるか？
• RQ4 選択公理が存在しない状況下で、コンパクトハウスドルフ準距離化可能空間がいつ距離化可能になるか？
• RQ5 Loeb性は、コンパクトハウスドルフ準距離化可能空間がZFで距離化可能であるために十分か？

主な発見

• ZFにおいて、すべての可算個のcuf（または可算無限）集合の和集合がcufであることと、すべてのcofinite cuf（または可算無限）空間の可算積が準距離化可能であることとは、論理的に同値である。
• 可算無限個の可算無限離散空間の1点ハウスドルフコンパクト化の積は、第一可算的であることと、準距離化可能であることとは同値である。
• 可算個の2点のハウスドルフコンパクト化の積が第一可算的だが準距離化可能でないZFモデルを構成した。このことは、第一可算性がZFにおいても準距離化可能性を含意しないことを示している。
• ZFにおいて、すべてのコンパクトハウスドルフ準距離化可能Loeb空間は距離化可能であり、Loeb性は共役位相の分離性を示唆する。
• 可算選択公理（CAC）は、ZFにおいてすべてのコンパクトハウスドルフ準距離化可能空間が距離化可能であることを示唆する。
• コンパクトハウスドルフ準距離化可能空間において、以下の4つはZFにおいて同値である：Loebであること、共役位相が分離的であること、第二可算であること、距離化可能であること。