[論文レビュー] Cuntz-like algebras

Jean Renault|ArXiv.org|May 29, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 46

ひとこと要約

この論文は、部分的な局所ホメオモルフィズムによって定義される単一生成の擬群から生じる群札C*-代数として、無限行列に対するCuntz-Krieger代数を一般化するCuntz型C*-代数を導入する。動的条件のもとで、これらの代数が核となる、単純、または純粋無限であることを確立し、位相的力学系と群札技術を用いて、グラフ代数とExel-Laca代数を統一的な枠組みで扱う。

ABSTRACT

The usual crossed product construction which associates to the homeomorphism $T$ of the locally compact space $X$ the C$^*$-algebra $C^*(X,T)$ is extended to the case of a partial local homeomorphism $T$. For example, the Cuntz-Krieger algebras are the C$^*$-algebras of the one-sided Markov shifts. The generalizations of the Cuntz-Krieger algebras (graph algebras, algebras $O_A$ where $A$ is an infinite matrix) which have been introduced recently can also be described as C$^*$-algebras of Markov chains with countably many states. This is useful to obtain such properties of these algebras as nuclearity, simplicity or pure infiniteness. One also gives examples of strong Morita equivalences arising from dynamical systems equivalences.

研究の動機と目的

• グローバルホメオモルフィズムからのクロスド積構成を部分的な局所ホメオモルフィズムへ拡張し、より広いクラスのC*-代数を可能にする。
• 無限行列のCuntz-Krieger代数、グラフ代数、および関連一般化を、一つの力学的枠組みで統一的に記述する。
• 位相的群札技術と力学系の性質を用いて、これらの代数の核性、単純性、純粋無限性を確立する。
• 特にシフト同値性を介して、動的系の同値性から生じる強いモリタ同値性により、このようなC*-代数の間の強いモリタ同値性を示す。
• ExelとLacaの無限(0,1)-行列に付随するC*-代数を群札的実現により明確にし、その構造と一意性を解明する。

提案手法

• 位相空間X上の部分的局所ホメオモルフィズムTにより、単一生成の擬群G(X,T)を定義する。
• G = Germ(X, G(X,T))として、群札の芽の群札を構成する。これは本質的に主であり、局所コンパクトかつハウスドルフな群札である。
• Gの群札C*-代数としてC*(X,T)を定義する。これは群札理論における標準的構成を用いる。
• 群札のアメニタリティと本質的主性を用いて、既知の結果（例：[22]の定理4.3）から核性と一意性の定理を導出する。
• 非可約性や(L)条件（すべてのループが出発辺を有する）といった動的条件を適用し、単純性と純粋無限性を特徴付ける。
• シフト同値性から生じる群札同値性によって誘導される強いモリタ同値性により、C*-代数同士の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、位相的力学系を用いてCuntz-Krieger代数の構成を無限行列およびグラフ代数へ一般化できるか？
• RQ2 部分的ホメオモルフィズムTにどのような動的条件が満たされると、関連するC*-代数C*(X,T)が単純または純粋無限になるか？
• RQ3 C*-代数のスペクトルと基礎となるシフト空間との正確な関係は何か、特に点(∅;∅)に関しては？
• RQ4 強いつながりのモリタ同値性は、シフト同値性のような動的同値性からどのように生じるか？
• RQ5 C*-代数C*(X,T)がユニタリC*-代数O_Aまたはその非ユニタリ版と一致するのはどのような場合か？

主な発見

• 零行を含まない(0,1)-行列Aに対し、C*(X_A, T_A)は∅ ∉ J_AのときCuntz-Krieger代数O_Aに同型であり、∅ ∈ J_AのときはX_A ∖ {(∅;∅)}に制限したときO_Aに同型である。
• Aが非可約かつ(L)条件を満たすならば、C*(X_A, T_A)は単純である。これは関連する群札が本質的に自由であり、系が位相的トランスティティブであるためである。
• Aが(L)条件を満たし、すべての頂点が出発辺を有するループ上にあるならば、C*(X_A, T_A)は純粋無限である。これは、任意の空でない開集合が、Tによる繰り返し像がその像の真部分集合となる部分集合を含むことによる。
• Cuntz-Krieger関係式(CK1–CK4)を満たすヒルベルト空間上のC*(X_A, T_A)の表現は忠実であり、生成子を保存する同型を除いてC*-代数の一意性が保証される。
• 関連する群札がアメニタリである限り、C*(X_A, T_A)は核となる。これは(L)条件と非可約性の下で成立する。
• C*(X_A, T_A)とC*(X_B, T_B)の間の強いつながりのモリタ同値性は、基礎となる力学系のシフト同値性から生じる群札同値性によって誘導される。