[論文レビュー] Cuntz semigroups of C*-algebras of stable rank one and projective Hilbert modules

Huaxin Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、安定的スカラーが1の単純C*-代数において、二つのσ-コンパクトな開射影がCuntz同値であるための必要十分条件が、それらを結ぶ連続的ユニタリーパスの存在にあることを確立している。さらに、任意のヒルベルトA-加群が、有界な加群写像とその随伴写像を持つヒルベルトA-加群の圏において射影的であることを示し、Cuntz半群とヒルベルト加群の構造との関係を結びつけている。

ABSTRACT

Let $A$ be a simple C*-algebra of stable rank one and let $p$ and $q$ be two $σ$-compact open projections. It is proved that there is a continuous path of unitaries in ${ ilde A}$ which connects open sub-projections of $p$ which is compactly contained in $p$ to those in $q.$ It is also shown that every Hilbert module is projective in the category whose morphisms are bounded module maps with adjoints. A discussion of projective Hilbert modules (whose morphisms are bounded module maps) is also given.

研究の動機と目的

• C*-代数におけるヒルベルト加群の構造とCuntz半群の関係を明確化すること。
• σ-コンパクトな開射影のCuntz同値性が、それらを結ぶ連続的ユニタリーパスの存在を示唆するかを調査すること。
• 特に随伴写像を伴う・伴わない有界加群写像の圏におけるヒルベルトA-加群の射影的性質を特定すること。
• 安定的スカラーが1であるという条件が、開射影および正の元のホモトピー的性質や同値性に与える影響を検討すること。

提案手法

• C*-代数における開射影の同値性とホモトピーの関係を、L. G. Brownの結果を用いて関係づける。
• 正の元と開射影に対するCuntz関係を適用し、$ a \lessapprox b $ および $ a \lesssim b $ を定義し、Cuntz半群 $ W(A) $ と $ Cu(A) $ を導出する。
• スペクトルが $[0,1]$ である正の元 $ a $ に対して近似単位 $ \{f_n(a)\} $ と $ \{g_n(a)\} $ を構成し、$ e_n d_n = e_n $、$ d_n d_m = 0 $（$ |n-m| \geq 2 $）を満たす射影 $ e_n $ と $ d_n $ を定義する。
• 有界加群写像 $ T: H \to H_1 $ を $ T(b) = \sum_{n=1}^\infty \xi_n b $ で定義し、ここで $ \xi_n = (1 - p_n)x_n d_n $ とし、$ \varphi \circ T = \psi $ を保証する。
• ノルム推定 $ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ を用いて、随伴写像を保つ射像の圏における射影的性質を証明する。
• $ K(H) $ の逐次的中心近似単位の構造を応用して、ノルム推定を $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ に精錬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純C*-代数で安定的スカラーが1のとき、二つのσ-コンパクトな開射影がCuntz同値であるのはいつか？
• RQ2 $ \tilde{A} $ 内の連続的ユニタリーパスが、与えられた開射影のσ-コンパクトな部分射影を結ぶことができるか？
• RQ3 有界加群写像とその随伴写像を持つ圏において、ヒルベルトA-加群がいつ射影的か？
• RQ4 Cuntz半群はヒルベルトA-加群の同型類とどのように関係するか？
• RQ5 安定的スカラーが1のC*-代数において、開射影のCuntz同値性は、それらを結ぶ連続的ユニタリーパスの存在と同値か？

主な発見

• 単純C*-代数で安定的スカラーが1のとき、二つのσ-コンパクトな開射影がCuntz同値であるための必要十分条件は、それらを結ぶ $ \tilde{A} $ 内の連続的ユニタリーパスの存在にある。
• 任意のヒルベルトA-加群は、有界加群写像とその随伴写像を持つヒルベルトA-加群の圏において射影的である。
• 任意の全射有界加群写像 $ \varphi: H_1 \to H_2 $ と任意の有界加群写像 $ \psi: H \to H_2 $ に対して、$ \|T\| \leq 2\|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ を満たす上への写像 $ T: H \to H_1 $ が存在する。
• $ K(H) $ が射影の逐次的中心近似単位を持つならば、上記の上への写像 $ T $ に対して $ \|T\| \leq \|\varphi^\sim \circ \psi\| + \epsilon $ が成り立つ。
• $ (A \otimes \mathcal{K})^{**} $ 内の範囲射影 $ p_a $ と $ p_b $ のCuntz同値性は、ヒルベルトA-加群 $ \overline{aA} $ と $ \overline{bA} $ の同型性と同値である。
• ヒルベルトA-加群 $ H = \bigoplus_{i=1}^n \overline{x_i A} $ は、各 $ K(H_i) $ が逐次的中心近似単位を持つ場合に射影的である。