[論文レビュー] Cup-products in L q,p -cohomology: discretization and quasi-isometry invariance

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界幾何構造を備えたリーマン多様体に対して、$L^{q,p}$-コホモロジーおよびそのカップ積構造の準等長写像不変性を、パッキング $\pi$-コホモロジーと呼ばれる度量空間の類似理論を導入し、$L^{q,p}$-コホモロジーとこの離散的理論との同型を確立することによって確立する。主な結果は、指数の極限ケースへの不変性の拡張を含み、乗法的構造が準等長写像のもとで保存されることを確認する。

ABSTRACT

We relate $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry Riemannian manifolds to a purely metric space notion of $\\ell^{q,p}$-cohomology, packing cohomology. This implies quasi-isometry invariance of $L^{q,p}$-cohomology together with its multiplicative structure. The result partially extends to the Rumin $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry contact manifolds.

研究の動機と目的

• 有界幾何構造を備えたリーマン多様体における $L^{q,p}$-コホモロジーの準等長写像不変性を確立すること。
• 標準的な $L^{q,p}$-コホモロジーが $L^{\pi}$-コホモロジーに置き換えられる極限指数ケース $p=1$, $q=n/(n-1)$ および $p=n$, $q=\infty$ への不変性の拡張。
• $L^{q,p}$-コホモロジー上のカップ積構造が準等長写像のもとで不変であることを証明すること。
• 連続的理論を模倣する離散的で度量空間に基づく理論—パッキング $\ell^{q,p}$-コホモロジー—を構築すること。
• 最近のヘイセンベルク群における $L^1$-解析的結果を用いて、接触多様体に付随するルーミン複体へ結果を拡張すること。

提案手法

• 度量空間に対して、一様被覆とコチェーン上の $\ell^{q,p}$-ノルムを用いて定義される新しい離散的コホモロジー理論—パッキング $\ell^{q,p}$-コホモロジー—を導入する。
• 球体内のPoincaré不等式に依存して、多様体上の $L^{q,p}$-コホモロジーと離散的パッキングコホモロジーを結びつけるために、Lerayのアセプティック被覆定理のカスタマイズ版を用いる。
• 一様にコホモロジーが $k-1$ 次元まで消えることと制御されたPoincaré不等式に依存して、すべてのスケールで $L^{q,p}$-コホモロジーとパッキング $\ell^{q,p}$-コホモロジーとの同型を確立する。
• アレクサンダー＝スパンナー・コチェーンとリプス複体を用いて、パッキングコホモロジーが本質的に準等長写像不変であることを示し、その不変性を連続的理論へと移す。
• 接触多様体の場合、ルーミンの複体と[BFP]からの滑らか化作用素を用いて、$L^{\pi}$-ルーミンコチェーンと $W^{1,\pi}$-ルーミンコチェーンの間のホモトピー同値を構成する。
• 滑らか化作用素と微分作用素の反復的なホモトピー関係を繰り返し適用することで、$L^{\pi}$-ルーミン複体が準等長写像不変であることを証明し、$r$ と $W$ の多項式を用いて誤差項を消去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての指数ペア $1 \leq p \leq q \leq \infty$、特に極限ケースについて、$L^{q,p}$-コホモロジーおよびそのカップ積構造が準等長写像不変であることを示せるか？
• RQ2 パッキングコホモロジーとしての純粋に度量空間的定義である $\ell^{q,p}$-コホモロジーは、有界幾何構造を備えたリーマン多様体上での $L^{q,p}$-コホモロジーと一致するか？
• RQ3 ルーミン複体が微分代数でないことを考慮すると、$L^{q,p}$-コホモロジーの乗法的構造が準等長写像のもとでどのように保存されるか？
• RQ4 一様被覆とPoincaré不等式による離散化の手法は、有界幾何構造を備えたサブリーマン多様体へと適応可能か？
• RQ5 一般の等正則カルノー多様体（ヘイセンベルクの場合を除く）へと不変性結果を拡張するために必要な解析的道具は何か？

主な発見

• 有界幾何構造を備えたリーマン多様体で、$k-1$ 次元まで一様にコホモロジーが消える場合、$L^{q,p}$-コホモロジーとパッキング $\ell^{q,p}$-コホモロジーは $k-1$ 次元までベクトル空間として同型であり、$k$ 次元で正確な $L^{q,p}$-コホモロジーと正確なパッキング $\ell^{q,p}$-コホモロジーも同型である。
• 同型は位相的であり、$(p,q) \neq (1, n/(n-1))$ または $(n, \infty)$ の場合、Banach複体のホモトピー同値から生じ、粗い埋め込みに関して関手的である。
• $L^{q,p}$-コホモロジー上のカップ積構造は準等長写像のもとで不変であり、すべてのケースで不変性が確立される。
• 極限ケース $p=1$, $q=n/(n-1)$ および $p=n$, $q=\infty$ では、標準的な $L^{q,p}$-コホモロジーは $\pi = \mathcal{H}^1$ または $BMO$ に対する $L^{\pi}$-コホモロジーに置き換えられ、パッキングコホモロジーとの同型関係は依然として成立する。
• 有界幾何構造とカルノー＝カルタゴデリー距離を備えた接触多様体上では、滑らか化作用素と反復的ホモトピー構成を用いて、$L^{\pi}$-ルーミンコホモロジーが準等長写像不変である。
• 証明は、$L$ 回の反復後に $W^L = 0$ となる多項式ホモトピー構成に依存し、$W$ は滑らか化と微分作用素の誤差を組み合わせたものである。