[論文レビュー] Curious continued fractions, nonlinear recurrences and transcendental numbers

Andrew N. W. Hone|Kent Academic Repository (University of Kent)|Jun 30, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Honeの分類における(iii)類に属する非線形再帰によって定義される特定の急速増加する整数列の逆数の和が、元の列およびその比と入れ違いになる連分数展開を持つことを証明している。著者らは、これらの列の二重指数的成長を利用して、ディオファントス近似におけるロースの定理を用いて、そのような和が超越的であることを確立している。

ABSTRACT

We consider a family of integer sequences generated by nonlinear recurrences of the second order, which have the curious property that the terms of the sequence, and integer multiples of the ratios of successive terms (which are also integers), appear interlaced in the continued fraction expansion of the sum of the reciprocals of the terms. Using the rapid (double exponential) growth of the terms, for each sequence it is shown that the sum of the reciprocals is a transcendental number.

研究の動機と目的

• A112373番の列の逆数の和の連分数展開が、元の列とその比と入れ違いになるというハナの経験的観察を一般化すること。
• 2階非線形再帰 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ で表される、$ F(0) = 1 $ を満たす整数列の無限族に対して、この入れ違い性質が成り立つことを証明すること。
• ディオファントス近似理論を用いて、このような列の逆数の和の超越性を確立すること。
• デイヴィソンとシャレットの超越的連分数に関する結果を、より広い非線形再帰列生成クラスに拡張すること。

提案手法

• F(0) = 1 を満たす再帰から整数列が得られるためのローレント性質を用いる。初期値は $ x_0 = x_1 = 1 $ とする。
• 対数再帰 $ \Lambda_{n+1} - (d+2)\Lambda_n + \Lambda_{n-1} = \log c + \alpha_n $ を用いて列 $ x_n $ の成長率を分析する。ここで $ \Lambda_n = \log x_n $ である。
• 漸近的挙動 $ \Lambda_n \sim C\lambda^n $ を導出し、$ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $ であることを示し、二重指数的成長を確認する。
• 再帰関係 $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $、$ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $ を用いて、連分数の部分商が $ x_n $ と $ y_n = x_{n+1}/x_n $ を入れ違いにしていることを証明する。
• ロースの定理（ディオファントス近似）を適用する：ある数 $ \alpha $ が $ \kappa > 2 $ に対して無限に多くの有理近似 $ p/q $ を満たす $ |\alpha - p/q| < 1/q^{\kappa} $ を満たすならば、$ \alpha $ は超越的である。
• 列の成長率 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $（$ \lambda > 2 $）を用いて、和 $ \mathcal{S} $ が超越性を満たす条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F(0) = 1 を満たす $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ で定義される列の逆数の和の連分数展開は、元の列とその比と入れ違いになるか？
• RQ2 項の二重指数的成長を踏まえて、ディオファントス近似を用いてこのような和の超越性を証明できるか？
• RQ3 Honeの再帰分類における(iii)類のすべての列に対して、連分数における入れ違い性質は一般的特徴であるか？
• RQ4 列の漸近的成長率は、その逆数の和の近似性質にどのように影響するか？
• RQ5 A112373番の列に対して用いられた手法を、$ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $、$ F(0) = 1 $ を満たすすべての再帰に一般化できるか？

主な発見

• 再帰 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2(x_{n+1} + 1) $ で定義される列について、逆数の和 $ \mathcal{S} = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{x_j} $ は連分数展開 $ [2; 1, 1, 2, 2, 6, 12, 78, \dots] $ を持ち、元の列とその比と入れ違いになる。
• 部分商 $ a_n $ は $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $ および $ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $ を満たし、入れ違い構造が確認される。
• 列 $ x_n $ は二重指数的に成長し、$ \log x_n \sim C\lambda^n $ となる。元のケースでは $ \lambda = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 $ である。
• 任意の $ F(0) = 1 $ を満たす列に対して、和 $ \mathcal{S} $ は超越的である。なぜなら、成長率 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $（$ \lambda > 2 $）により、無限に多くの良好な有理近似が得られるからである。
• この結果は、$ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $、$ F(0) = 1 $ を満たすすべての再帰 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ に一般化可能であり、同じ連分数および超越性の性質が保たれる。
• 漸近公式 $ x_n \sim c^{-1/d} \exp(C\lambda^n) $ が導出され、$ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $ であるため、超越性に必要な成長が確認される。