[論文レビュー] Curvature: a variational approach

Andrei Agrachev, Davide Barilari+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 39被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、最適制御コスト関数の漸近挙動を分析することにより、リーマン幾何、部分リーマン幾何、フィンスler幾何、および部分フィンスラ幾何に適用可能な統一的で変分的な曲率の定義を導入する。曲率は測地線コストの2次変分から生じ、ヤコビ曲線から導かれる曲率作用素に符号化されており、リーマンの断面曲率を一般化し、滑らかでないあるいは部分リーマンの設定ですら有効な、リーマンにインspiredな直接的な構成を提供する。

ABSTRACT

The curvature discussed in this paper is a rather far going generalization of the Riemannian sectional curvature. We define it for a wide class of optimal control problems: a unified framework including geometric structures such as Riemannian, sub-Riemannian, Finsler and sub-Finsler structures; a special attention is paid to the sub-Riemannian (or Carnot-Caratheodory) metric spaces. Our construction of the curvature is direct and naive, and it is similar to the original approach of Riemann. Surprisingly, it works in a very general setting and, in particular, for all sub-Riemannian spaces.

研究の動機と目的

• 最適制御問題から生じる広範な幾何構造に、リーマンの断面曲率を一般化すること。
• 測地線コスト関数の参考測地線近傍における漸近的挙動を用いて、曲率を内挿的に定義すること。
• 部分リーマン幾何、フィンスラ幾何、および線形二次制御系に対して有効な統一的フレームワークを確立すること。
• 測地線コスト関数の2次微分とヤコビ曲線を用いた幾何的解釈を通じて、曲率の意味を明らかにすること。
• 曲率作用素が状態フィードバック変換に対して不変であり、部分リーマンの同次変換に対して同次的であることを証明すること。

提案手法

• 測地線 $ \gamma(t) $ を用いて、 geodesic cost function $ c_t(x) = -\frac{1}{2t} \mathsf{d}^2(x, \gamma(t)) $ を定義し、$ t \to 0 $ における漸近展開を調べる。
• 点 $ x_0 $ における $ c_t $ の2次微分を計算し、曲率情報を符号化する二次形式を得る。
• ヤコビ曲線を、測地線に沿った2次変分の進化を表す、ラグランジュのグラスマンニアン内の曲線として構成する。
• ハミルトニアン内積を用いて、ヤコビ曲線の固有値特性から、標準的フレームおよび曲率作用素 $ \mathcal{I}_\lambda $ を定義する。
• ポントリャーギン最大原理と等正則測地線の理論を適用し、構成の正則性と不変性を保証する。
• 特権座標における漸近展開を用いて、曲率作用素と測地線コストのサブラプラシアンとの関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測地線が最適制御問題から生じるすべての幾何構造に対して、統一的な曲率概念を定義可能か？
• RQ2 部分リーマン多様体の曲率は、測地線コスト関数の漸近挙動からどのように生じるか？
• RQ3 ヤコビ曲線とその固有値特性を用いて、コスト関数の2次変分の幾何的意味は何か？
• RQ4 曲率作用素は、部分リーマン幾何における古典的不変量（切断点・共役点の包絡線）とどのように関係するか？
• RQ5 曲率作用素は状態フィードバック変換に対して不変であり、部分リーマンの拡大に対して同次的か？

主な発見

• 等正則測地線に対して、曲率作用素 $ \mathcal{I}_\lambda $ は適切に定義され、状態フィードバック変換に対して不変である。
• ヘイゼンベルク群では、曲率作用素は定数であり、明示的に計算可能であり、非ゼロの曲率をもたらし、リーマンの断面曲率を一般化する。
• 測地線コスト関数の漸近展開は、そのヘッシアンが直接的に曲率作用素 $ \mathcal{I}_\lambda $ に関係する2次項を明らかにする。
• 曲率作用素は、部分リーマンの同次変換に対して、-1次の同次性を示し、幾何の内在的スケーリングを反映する。
• 3次元接触部分リーマン構造では、曲率作用素は成長ベクトルと標準的フレームによって完全に決定され、既知の計量不変量と一致する。
• 点 $ x_0 $ における測地線コストの2次微分は、定数倍を除いて $ \frac{1}{2} \| W_{x_0,\gamma(t)}^t - W_{x,\gamma(t)}^t \|^2 $ に等しく、曲率を「会合点における相対速度発散」として物理的解釈可能である。