[論文レビュー] Curvature and rank of Teichmüller space

Jeffrey Brock, Benson Farb|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、パンツ分解グラフと曲線複体の幾何を用いて、曲面の複雑度 $ d(S) = 3g - 3 + n \leq 2 $ であるとき、テイヒミュラー空間上のワイエル・ペトロフスキー計量がグロモフ双曲的であることを確立する。さらに、$ d(S) \geq 3 $ のとき、計量はより高いランク（$ k \geq 2 $ に対して $ \mathbb{R}^k $ の準等長埋め込みを許容する）であり、この場合、$ \mathrm{Teich}(S) $ 上に完全で、測地的完全で、グロモフ双曲的で、有限被覆体積を持つ計量は存在しないことを示す。

ABSTRACT

Let S be a surface with genus g and n boundary components and let d(S) = 3g-3+n denote the number of curves in any pants decomposition of S. We employ metric properties of the graph of pants decompositions CP(S) prove that the Weil-Petersson metric on Teichmuller space Teich(S) is Gromov-hyperbolic if and only if d(S) <= 2. When d(S) >= 3 the Weil-Petersson metric has higher rank in the sense of Gromov (it admits a quasi-isometric embedding of R^k, k >= 2); when d(S) <= 2 we combine the hyperbolicity of the complex of curves and the relative hyperbolicity of CP(S) prove Gromov-hyperbolicity. We prove moreover that Teich(S) admits no geodesically complete Gromov-hyperbolic metric of finite covolume when d(S) >= 3, and that no complete Riemannian metric of pinched negative curvature exists on Moduli space M(S) when d(S) >= 2.

研究の動機と目的

• さまざまな位相的複雑度を持つ曲面におけるテイヒミュラー空間上のワイエル・ペトロフスキー計量のグロモフ双曲的性を特定すること。
• 計量のランク（空間内に存在する準平坦な部分空間の最大次元）を定義し、その性質を調査すること。
• $ d(S) \geq 3 $ のとき、$ \mathrm{Teich}(S) $ 上に完全で、測地的完全で、グロモフ双曲的で、有限被覆体積を持つ計量が存在しないことを確立すること。
• これらの結果が、特にピンチされた負の曲率に関するモジュライ空間 $ \mathcal{M}_{g,n} $ の幾何に与える影響を分析すること。
• ワイエル・ペトロフスキー計量と他の計量（例えば、テイヒミュラー計量、ケーラー計量）との間の曲率および準等長的性質に関する違いを明確にすること。

提案手法

• ワイエル・ペトロフスキー計量の組み合わせ的モデルとしてパンツ分解グラフ $ C_{\mathbf{P}}(S) $ を用いる。
• マスールとミンスキーの研究に基づく曲線複体の双曲的性を応用し、$ d(S) \leq 2 $ 時に双曲的であることを確立する。
• 曲線複体における有界領域透過性を用いて、同伴する経路の類似性を分析し、$ C_{\mathbf{P}}(S) $ 内の距離を制御する。
• $ \mathbb{R}^k $ の $ \mathrm{Teich}(S) $ 内への準等長埋め込みを用いて、ワイエル・ペトロフスキー計量のランクを定義し、その上限を求める。
• マッカーシーとパパドプーロスの一般的議論を応用し、$ d(S) \geq 3 $ 時に完全で、グロモフ双曲的で、有限被覆体積を持つ計量が存在しないことを示す。
• ワイエル・ペトロフスキー計量は完全でないため、この議論は直接的にそれには適用されないが、テイヒミュラー計量やマクマレンのケーラー計量といった他の完全計量に拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathrm{Teich}(S) $ 上のワイエル・ペトロフスキー計量は、どのようなときにグロモフ双曲的か？
• RQ2 ワイエル・ペトロフスキー計量の幾何的ランクは何か？ そして、曲面の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ3 $ d(S) \geq 3 $ 時に、$ \mathrm{Teich}(S) $ は完全で、測地的完全で、グロモフ双曲的で、有限被覆体積を持つ $ \mathrm{Mod}(S) $-不変パス計量を許容するか？
• RQ4 $ d(S) \geq 2 $ 時に、モジュライ空間 $ \mathcal{M}_{g,n} $ は完全なリーマン計量で、ピンチされた負の断面曲率を持つものを持つことができるか？
• RQ5 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上に、完全でかつ非正曲率であるような妥協的計量が存在するか？

主な発見

• $ \mathrm{Teich}(S) $ 上のワイエル・ペトロフスキー計量は、$ d(S) = 3g - 3 + n \leq 2 $ であるときかつそのときに限りグロモフ双曲的である。これは、トーラスに高々2個の穴が空いている、または球面に高々5個の穴が空いている曲面に同相な場合に該当する。
• $ d(S) \geq 3 $ 時に、ワイエル・ペトロフスキー計量は高ランクであり、$ k \geq 2 $ に対して $ \mathbb{R}^k $ の準等長埋め込みを許容する。ランクは $ d(S)/2 $ 以上で下から抑えられる。
• $ d(S) \geq 3 $ 時に、$ \mathrm{Teich}(S) $ は、適切で、測地的完全で、グロモフ双曲的で、$ \mathrm{Mod}(S) $-不変のパス計量で、有限被覆体積を持つものは存在しない。
• $ d(S) \geq 2 $ 時に、モジュライ空間 $ \mathcal{M}_{g,n} $ は、ピンチされた負の断面曲率を持つ完全なリーマン計量を持たない。
• $ d(S) \geq 3 $ 時に、ワイエル・ペトロフスキー計量はグロモフ双曲的でない。これは、負の断面曲率があるものの、高ランクの平坦部分空間が存在するためである。
• ワイエル・ペトロフスキー計量の幾何的ランクは $ \lfloor (d(S) + 1)/2 \rfloor $ であると予想され、これは曲線複体内の階層によって裏付けられている。