[論文レビュー] Curvature and symmetry of Milnor spheres

Karsten Grove, Wolfgang Ziller|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、S³-バンドル上の共型次元1作用と測地的測度を用いて、14体のエキゾチック7次元球面のうち10体（ミルナー球面）に対して、無限に多くの同相でない非負の断面曲率を持つ計量を構成する。すべてのベクトル束および球面束が非負曲率の完全計量を備えることを証明し、ホイフのファイブレーションを保存するホイフのファイブレーションを保存するほぼ自由なSO(3)作用を無限に構成する。

ABSTRACT

In this paper we explore the geometry and topology of cohomogeneity one manifolds, i.e. manifolds with a group action whose principal orbits are hypersurfaces. We show that the principal group action of every principal SO(3) and SO(4) bundle over S^4 extends to a cohomogeneity one action. As a consequence we prove that every vector bundle and every sphere bundle over S^4 has a complete metric with non-negative curvature. It is well known that 15 of the 27 exotic spheres in dimension 7 can be written as S^3 bundles over S^4 in infinitely many ways, and hence we obtain infinitely many non-negatively curved metrics on these exotic spheres. A further consequence will be that there are infinitely many almost free actions by SO(3) on S^7, i.e. all isotropy groups are finite. These actions preserve the Hopf fibration S^3 -> S^7 -> S^4 but do not extend to the disc D^8. We also construct infinitely many such actions on the 15 exotic 7-spheres mentioned above.

研究の動機と目的

• エキゾチック7次元球面が非負の断面曲率を持つ計量を備えるかどうかを特定すること。
• コンパクトで非負曲率を持つ多様体上のベクトル束および球面束に対して、チーバー＝グロモルのソール定理の逆がどの程度成り立つかを調査すること。
• ホイフのファイブレーションを保存するエキゾチック7次元球面上での新しいほぼ自由なSO(3)作用の構成。
• ミルナー球面および関連する束上で、非負曲率を持つ共型次元1計量の存在を調査すること。
• これらの作用の安定性群および幾何的構造、およびグロモル＝マイヤー球面との関係を分析すること。

提案手法

• S⁴上へのS³-バンドル上での共型次元1群作用を用いて、非負の断面曲率を持つ不変計量を構成する。
• S⁴上への主S³-バンドル上の測地的測度を適用し、Sp(2)の幾何およびその群作用を活用する。
• 等光的フォリエーションを介して、S⁴上での標準的SO(3)作用をS⁷およびエキゾチック7次元球面上に上昇させることで、SO(3)作用を構成する。
• 表現論および安定性群解析を用いて、固定点集合および軌道型を分類する。
• ブリースコルン多様体モデルおよび主バンドル構造を用いて、エキゾチック球面を球面バンドルの全空間として実現する。
• Sp(2)上の計量の極限を分析し、グロモル＝マイヤー計量を退化した場合として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エキゾチック7次元球面のうち、グロモル＝マイヤー球面以外にも非負の断面曲率を持つ計量が存在するか？
• RQ2 S⁴上へのすべてのベクトル束および球面束が、非負曲率の完全計量を備えることができるか？
• RQ3 同じエキゾチック7次元球面に、無限に多くの同相でない非負曲率計量が存在するか？
• RQ4 SO(3)がエキゾチック7次元球面にほぼ自由に作用しつつホイフのファイブレーションを保存できるか？その安定性群は何か？
• RQ5 エキゾチック球面上での共型次元1作用が、非負曲率を持つ計量をどの程度得られるか？

主な発見

• 14体のエキゾチック7次元球面（ミルナー球面）のうち10体が、S⁴上へのS³-バンドル上の測地的測度を用いて非負の断面曲率を持つ計量を備える。
• S⁴上へのすべてのベクトル束および球面束が、非負の断面曲率を持つ完全計量を備え、各全空間に無限に多くの同相でない計量が存在する。
• 各n ≥ 1に対して、S⁷上にホイフのファイブレーションを保存するほぼ自由なSO(3)作用が存在し、安定性群はD₁=Z₂、D₂=Z₂×Z₂、Dₙ、Dₙ₊₁、Dₙ₊₂、Dₙ₊₃である。n ≥ 4では、これらの作用はD⁸に拡張されない。
• 任意のエキゾチックミルナー球面Σ⁷に対して、3次元球面ファイブレーションを保存する無限に多くの同値でないほぼ自由なSO(3)作用が存在し、各ファイブレーションごとに1つずつ存在する。
• M₂,₋₁上のグロモル＝マイヤー計量は、Sp(2)およびS³×S³作用を用いて構成された1パラメータ族の計量の極限として回復されるが、それとは異なり、ある開集合上で正の曲率を持つのに対し、構成された計量は2次元平面で曲率が0である。
• 各ミルナー球面（標準球面を含む）およびホモトピー的RP⁵上での非負曲率計量の空間は、無限に多くの成分を持つ可能性が高く、無限に多くの同相でない計量の存在が示唆される。