[論文レビュー] Curvature effects on the empirical mean in Riemannian and affine Manifolds: a non-asymptotic high concentration expansion in the small-sample regime

Xavier Pennec|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2019

Morphological variations and asymmetry参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体およびアフィン接続多様体上の経験的フレシェ平均に対する非漸近的高濃度展開を導出し、曲率が平均に $1/n$ のバイアスを引き起こし、曲率テンソルを介して共分散の収束速度を調整することを示している。主な結果は、負の曲率が収束を速める（ユークリッド空間より速い）か、正の曲率が遅くするかを記述するスカラー乗法的係数であり、Karcher-Kendall 濃度閾値に達する際に発散する。

ABSTRACT

The asymptotic concentration of the Fr{é}chet mean of IID random variables on a Rieman-nian manifold was established with a central limit theorem by Bhattacharya \& Patrangenaru (BP-CLT) [6]. This asymptotic result shows that the Fr{é}chet mean behaves almost as the usual Euclidean case for sufficiently concentrated distributions. However, the asymptotic covariance matrix of the empirical mean is modified by the expected Hessian of the squared distance. This Hessian matrix was explicitly computed in [5] for constant curvature spaces in order to relate it to the sectional curvature. Although explicit, the formula remains quite difficult to interpret, and the intuitive effect of the curvature on the asymptotic convergence remains unclear. Moreover, we are most often interested in the mean of a finite sample of small size in practice. In this work, we aim at understanding the effect of the manifold curvature in this small sample regime. Last but not least, one would like computable and interpretable approximations that can be extended from the empirical Fr{é}chet mean in Rie-mannian manifolds to the empirical exponential barycenters in affine connection manifolds. For distributions that are highly concentrated around their mean, and for any finite number of samples, we establish explicit Taylor expansions on the first and second moment of the empirical mean thanks to a new Taylor expansion of the Riemannian log-map in affine connection spaces. This shows that the empirical mean has a bias in 1/n proportional to the gradient of the curvature tensor contracted twice with the covariance matrix, and a modulation of the convergence rate of the covariance matrix proportional to the covariance-curvature tensor. We show that our non-asymptotic high concentration expansion is consistent with the asymptotic expansion of the BP-CLT. Experiments on constant curvature spaces demonstrate that both expansions are very accurate in their domain of validity. Moreover, the modulation of the convergence rate of the empirical mean's covariance matrix is explicitly encoded using a scalar multiplicative factor that gives an intuitive vision of the impact of the curvature: the variance of the empirical mean decreases faster than in the Euclidean case in negatively curved space forms, with an infinite speed for an infinite negative curvature. This suggests potential links with the stickiness of the Fr{é}chet mean described in stratified spaces. On the contrary, the variance of the empirical mean decreases more slowly than in the Euclidean case in positive curvature space forms, with divergence when we approach the limits of the Karcher \& Kendall concentration conditions with a uniform distribution on the equator of the sphere, for which the Fr{é}chet mean is not a single point any more.

研究の動機と目的

• 漸近的近似が失敗する小標本状態における曲率効果を理解すること。
• 漸近理論を超えた第一および第二モーメントの計算可能で解釈可能な近似を提供すること。
• リーマン多様体からの結果を指数的重心を用いてアフィン接続多様体へ拡張すること。
• 特に高濃度分布において、曲率が平均推定の速度とバイアスに与える直感的な影響を明確にすること。
• 高濃度極限における非漸近的展開と Bhattacharya-Patrangenaru の中心極限定理を統合すること。

提案手法

• Gavrilov の公式を用いて、曲率テンソルおよび捩れテンソルとその共変微分にのみ依存する座標不変のリーマン対数写像のテイラー展開を導出する。
• この展開を応用して、小標本状態における経験的平均の第一および第二モーメントの高次明示的近似を計算する。
• 座標ベースの展開を避けるために、インデックスの複雑な縮約を回避するため、テンソリアルで内在的な表現を用いた新しい定式化を導入する。
• 共分散-曲率テンソルを用いて、経験的平均の共分散行列の収束速度が曲率によってどのように調整されるかを定量化する。
• 高濃度・大標本極限において、Bhattacharya-Patrangenaru の中心極限定理と整合性を示す。
• 定数曲率空間上で展開を検証し、既知の漸近的結果と一致することを示し、直感的なスカラー調整係数を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限標本状態における曲率が経験的フレシェ平均のバイアスに与える影響は何か？ これは非漸近的展開で捉えられるか？
• RQ2 リーマン曲率テンソルが経験的平均の共分散行列の収束速度に果たす正確な役割は何か？
• RQ3 経験的平均に及ぼされる曲率効果は、ユークリッド空間との比較において収束の加速・遅延を記述する単純なスカラー係数として表現可能か？
• RQ4 高濃度状態における非漸近的展開と漸近的 Bhattacharya-Patrangenaru の中心極限定理の比較は？
• RQ5 この枠組みは、指数的重心を用いてリーマン多様体からアフィン接続多様体へ一般化可能か？

主な発見

• 経験的フレシェ平均は、曲率テンソルの勾配が共分散行列と二回縮約されたものに比例する $1/n$ 階のバイアスを示す。
• 経験的平均の共分散行列の収束速度は、共分散-曲率テンソルによって調整され、曲率に依存するスカラー乗法的係数を導入する。
• 負の曲率をもつ空間形式では、経験的平均の分散がユークリッド空間よりも速く減少し、曲率が負の無限大に近づくにつれてゼロに近づく。
• 正の曲率をもつ空間形式では、分散の減少がユークリッド空間よりも遅くなり、Karcher-Kendall 濃度条件に近づくと発散する（例：均一な赤道分布をもつ球面上）。
• 非漸近的展開は、高濃度極限において Bhattacharya-Patrangenaru の中心極限定理と整合的であり、その正確性が裏付けられる。
• スカラー調整係数は直感的な幾何的解釈を提供する：負の曲率は集中を促進し、正の曲率はそれを妨げる。これは、分岐多様体における「スティッキーネス」現象と関連する可能性がある。