[論文レビュー] Curvature estimates for stable marginally trapped surfaces

Lars Andersson, Jan Metzger|ArXiv.org|Dec 19, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、スライス構造を持つ時空における安定的で境界外側に外向きの外側捕捉表面（MOTS）について、局所的な曲率推定を確立する。これは、Schoen-Simon-Yauの最小曲面の正則性理論をローレンツ幾何学へ一般化したものである。ヌル版のシモンズ公式と安定的外向き条件を活用することで、時空スライスの内在的・外在的曲率を用いた第二基本形式の一様な境界を証明し、幾何的制約のもとで$C^{1,\alpha}$および$W^{2,p}$正則性を保証する。

ABSTRACT

We derive integral and sup-estimates for the curvature of stably marginally outer trapped surfaces in a sliced space-time. The estimates bound the shear of a marginally outer trapped surface in terms of the intrinsic and extrinsic curvature of a slice containing the surface. These estimates are well adapted to situations of physical insterest, such as dynamical horizons.

研究の動機と目的

• 安定的最小曲面の正則性理論をローレンツ幾何学における外向きに捕捉された表面（MOTS）の文脈へ拡張すること。
• 時空スライスによるfoliationを持つ時空における安定的外向きMOTSの曲率推定を確立すること。
• 面積の仮定に依存しない第二基本形式の境界を、周囲スライスの局所的幾何的データのみを用いて導出すること。
• 物理的時空（例えばブラックホールのダイナミクスをモデル化するもの）におけるMOTSの安定性と正則性を解析するための枠組みを構築すること。

提案手法

• MOTSのヌル幾何学における第二基本形式のラプラシアンに対するシモンズ公式をヌル版に適応する。
• リーマン幾何学における面積の第二変分の非負性の代わりに、安定的外向き条件を用いる。
• 安定性作用素の弱形式を適用し、固有値推定と固有関数の一様な境界を導出する。
• 第二基本形式と面積が一様に有界なMOTSの列に対して極限の議論を適用し、$W^{1,p}$および$C^{\alpha}$位相での収束を用いる。
• 接続係数の均一な制御と計量の収束を用いて、固有関数の$W^{2,p}$-有界性を確立する。
• 楕円型正則性および最大原理の議論を適用し、極限曲面が滑らかで安定的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定的最小曲面の曲率推定を、ローレンツ時空における捕捉表面へ一般化できるか？
• RQ2 安定的外向き条件は、リーマン幾何学における安定性の代わりにMOTSに対してどのように機能するか？
• RQ3 時空のスライシングは、面積に依存しない局所的曲率境界を導出する上で果たす役割は何か？
• RQ4 スライスの内在的・外在的曲率データのみを用いて、MOTSの第二基本形式の一様な境界を導出できるか？
• RQ5 第二基本形式の曲率が一様に有界な安定的MOTSの列の収束下で、極限曲面の正則性は何か？

主な発見

• 安定的外向きMOTSの第二基本形式は、スライスの内在的曲率、外在的曲率のトレース、および時空のリーマン曲率の関数として一様に有界である。
• 安定性作用素の主固有値は上から一様に有界であり、これにより曲面の幾何の均一な制御が保証される。
• 第二基本形式と面積が一様に有界な安定的MOTSの列の極限は、$C^{1,\alpha}$および$W^{1,p}$位相で滑らかで安定的なMOTSに収束する。
• 元の曲面が埋め込まれており、極限が$\theta_- \leq 0$を満たすならば、最大原理により極限曲面は埋め込まれている。
• 面積の境界がない場合、極限は安定的MOTSのラミネーションとなり、$C^{\alpha}$位相でのラミネーションの意味での収束を示す。
• 本手法により、極限にまで伝搬する弱形式の安定性方程式が得られ、極限曲面上に自明でない非負の固有関数の存在が保証される。