[論文レビュー] Curvature explosion in quotients and applications

Alexander Lytchak, Gudlaugur Thorbergsson|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上の変分的完全な等長群作用が、曲率の爆発が固定化された同相的リーマン軌道に帰着する商空間を生成することを確立する。主な結果は、曲率が特異的ストラタの近傍で有界のままである条件の特徴付けである。これは、法空間における安定型作用が極的であるときに限り成立し、商空間が曲率の爆発を伴わずに滑らかなリーマン軌道となることを保証する。

ABSTRACT

We prove that the quotient space of a variationally complete group action is a good Riemannian orbifold. The result is generalized to singular Riemannian foliations without horizontal conjugate points.

研究の動機と目的

• 閉じた等長群作用の下でのリーマン多様体の商空間が、曲率の爆発を伴わないリーマン軌道となる条件を特徴づけること。
• 変分的完全性の幾何的意味を、商空間の曲率および共役点構造の観点から明確化すること。
• 水平共役点のない状況において、群作用から特異的リーマン分岐への曲率挙動および軌道構造の結果を拡張すること。
• ボットとサマエルソンの指摘、すなわち変分的完全性が商空間における共役点の不在に対応することの正確な幾何的解釈を提供すること。
• 無限小極性の下で、特異的リーマン分岐の文脈における交差数関数の連続性を確立すること。

提案手法

• 商空間 $ B = M/K $ の正則部分における断面曲率の挙動を分析し、$ z \to y \in B_{\text{sing}} $ の極限における $ \bar{\kappa}(z) $ の挙動に注目する。
• 定理 1.1 を用いて、曲率の有界性と法空間 $ H_x $ における安定型作用が極的であることの同値性を利用する。
• チューブ型近傍におけるスケーリングされた計量の収束を用いて、$ M $ における水平共役点と商空間におけるそれらの関係を確立する。
• 特異的リーマン分岐の理論および無限小極性の概念を活用し、群作用を超えて結果を一般化する。
• $ \mathcal{F} $-ヤコビ場（水平および垂直）のインデックス理論を用いて共役点を分析し、交差数の連続性を証明する。
• 曲率が非負の状況では、リーマン軌道の普遍軌道被覆が単連結な多様体であり、かつ共役点が存在しないことから、平坦性が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体 $ M $ における閉じた等長群作用 $ K $ の下での商空間 $ M/K $ がリーマン軌道となる条件は何か？
• RQ2 特異的ストラタに近づく際、商空間の正則部分における断面曲率が有界のままであるのはいつか？
• RQ3 群作用の変分的完全性は、商空間における共役点の不在とどのように関係しているか？
• RQ4 特異的リーマン分岐の無限小極性と水平共役点の不在の関係は何か？
• RQ5 垂直インデックスを測る交差数関数 $ c(\gamma) = \mathrm{ind}_W(\gamma) $ は、特異的リーマン分岐の文脈で連続か？

主な発見

• 商空間 $ M/K $ が良いリーマン軌道であるための必要十分条件は、法空間における安定型作用が極的であることである。これは、特異的ストラタに近づく際に正則部分の曲率が有界のままであることと同値である。
• 商空間における曲率の爆発は、特異的ストラタからの距離に関して高々2次的である。すなわち、コンパクト集合上である $ C > 0 $ に対して $ \bar{\kappa}(z) \leq C / d^2(z, B_{\text{sing}}) $ が成り立つ。
• 作用の変分的完全性は、商空間 $ B = M/K $ が共役点をもたない良いリーマン軌道であることと同値である。
• 非負の曲率の場合、$ B $ の普遍軌道被覆は平坦であり、作用はハイパーポーラー的である。
• 交差数関数 $ c(\gamma) = \mathrm{ind}_W(\gamma) $ が連続であるための必要十分条件は、各点において分岐が無限小極的であることである。
• 近傍内で水平共役点が存在しないことは、その点において分岐が無限小極的であることと同値であり、逆も成り立つ。