[論文レビュー] Curvature integral estimates for complete hypersurfaces

Hilário Alencar, Walcy Santos+1 more|ArXiv.org|Mar 11, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、空間形式内の完備超曲面に対して、r-平均曲率 $ S_r $ を分析することにより、曲率積分の推定を確立する。非負性および $ S_{r+1} $ の消滅の下で、積分 $ \int_M S_r \, dM $ が無限大に発散することを証明する。主な結果は、体積成長推定を高次の曲率積分へと拡張し、ユークリッド空間および空間形式幾何における最小および一定平均曲率超曲面に関する古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We consider the integrals of $r$-mean curvatures $S_r$ of a complete hypersurface $M$ in space forms $\mathcal{Q}_c^{n+1}$ which generalize volume $(r=0)$, total mean curvature $(r=1)$, total scalar curvature $(r=2)$ and total curvature $(r=n)$. Among other results we prove that a complete properly immersed hypersurface of a space form with $S_r\geq 0$, $S_r ot\equiv 0$ and $S_{r+1}\equiv 0$ for some $r\le n-1$ has $\int_MS_rdM=\infty.$

研究の動機と目的

• 最小および一定平均曲率超曲面の体積成長推定を高次の曲率積分へ一般化すること。
• 空間形式 $ \mathcal{Q}_c^{n+1} $ 内の完備かつ適切に埋め込まれた超曲面について、$ \int_M S_r \, dM $ の有限性または無限性を調査すること。
• $ S_r \geq 0 $、$ S_r \not\equiv 0 $、および $ S_{r+1} \equiv 0 $ の下で $ \int_M S_r \, dM = \infty $ となる条件を確立すること。
• ニュートン変換および距離関数の推定を用いた幾何学的・解析的技術により、最小曲面（例：Cohn-Vossen）の結果を高次の曲率関数へと拡張すること。

提案手法

• r次のニュートン変換 $ P_r $ と $ S_r $、$ S_{r+1} $ を含む曲率推定を用いて、積分の下界を導出する。
• 距離関数 $ \rho $ と $ M $ 上の内在的計量を用いた比較幾何を適用し、体積要素を制御するため $ |\text{grad}_M \rho| \leq 1 $ を用いる。
• 曲率 $ c = \kappa^2 $ の空間形式における体積成長関数 $ s_\kappa(\tau) $ を含む微分不等式を用い、$ \int_{B_\mu(q)} S_r \, dM $ に対して指数的下界を導出する。
• 重要な推定を導出：$ c \leq 0 $ および $ c > 0 $ の場合に $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $ であるとき、$ \int_{\overline{B}_\mu(q) \cap M} S_r \, dM \geq \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $ が成り立つ。
• カバー法とTopping（2006）の補題を適用し、平均曲率積分と体積成長を関連づけ、多項式的体積成長の下で $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $ を証明する。
• ガウス・ボンネット関係と漸近的体積成長を用いて、全曲率とオイラー標数に関する条件を導出し、表面における平均曲率積分が無限大であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間形式内の完備かつ適切に埋め込まれた超曲面について、$ r $-平均曲率積分 $ \int_M S_r \, dM $ が発散する条件は何か？
• RQ2 最小超曲面における古典的体積成長結果を、$ r \geq 2 $ の高次の曲率積分 $ S_r $ へと拡張できるか？
• RQ3 $ S_{r+1} $ の消滅が、$ S_r \geq 0 $ かつ恒等的にゼロでないときの $ \int_M S_r \, dM $ の発散を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ニュートン変換 $ P_r $ および曲率ピンチィング条件 $ (r+1)|S_{r+1}| \leq (n-r)\alpha S_r $ は、$ r $-面積積分の成長にどのように影響するか？
• RQ5 体積成長制約を用いて、ユークリッド空間内の完備部分多様体について、平均曲率積分推定を導出できるか？

主な発見

• ある $ r \leq n-1 $ に対して $ S_r \geq 0 $、$ S_r \not\equiv 0 $、$ S_{r+1} \equiv 0 $ ならば、$ c \leq 0 $ の空間形式では $ \int_M S_r \, dM = \infty $ である。
• $ c > 0 $ の場合、距離関数が凸領域にとどまるための追加制約 $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $ が満たされれば、同様の結論が成り立つ。
• 積分 $ \int_{B_\mu(q) \cap M} S_r \, dM $ は、$ \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $ と同程度以上に成長する。これは、曲率ピンチィング条件の下で無限大に発散することを示唆する。
• ユークリッド空間 $ \mathbb{R}^n $ 内の完備 $ m $-次元部分多様体について、$ \limsup_{r \to \infty} V(x,r)/r^m < \delta $ ならば $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $ である。ここで $ \delta > 0 $ は $ m $ に依存する。
• ユークリッド空間 $ \mathbb{R}^n $ 内の完備表面について、$ 2\pi\chi(M) - \int_M K \, dM < 2\delta $ ならば $ \int_M |H| \, dM = \infty $ である。これは条件が鋭いことを示している。
• この結果はCohn-Vossenの定理を一般化する：有限全曲率は $ \int_M K \, dM < \infty $ を意味するが、同様の位相的制約のもとで $ \int_M H \, dM $ が同じ性質を満たすとは限らない。