[論文レビュー] Curvature of a class of indefinite globally framed $f$-manifolds

Letizia Brunetti, Anna Maria Pastore|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、特に不定的アバウト $\mathcal{S}$-多様体と $\mathcal{S}$-空間形式を焦点として、不定的 globally framed \$f$-多様体の曲率性質を調査する。リーマン曲率テンソルの明示的表現を $\varphi$-断面曲率に関して導出し、スカラ型とタイムリー型の特徴的ベクトル場の数が等しいとき、多様体が $\varphi$-断面曲率が消える不定的 $\mathcal{S}$-空間形式となることを証明する。その例として、混合符号の特徴的場を持つ4次元ローレンツ多様体が提示される。

ABSTRACT

We present a compared analysis of some properties of indefinite almost $\mathcal{S}$-manifolds and indefinite $\mathcal{S}$-manifolds. We give some characterizations in terms of the Levi-Civita connection and of the characteristic vector fields. We study the sectional and $ϕ$-sectional curvature of indefinite almost $\mathcal{S}$-manifolds and state an expression of the curvature tensor field for the indefinite $\mathcal{S}$-space forms. We analyse the sectional curvature of indefinite $\mathcal{S}$-manifold in which the number of the spacelike characteristic vector fields is equal to that of the timelike characteristic vector fields. Some examples are also described.

研究の動機と目的

• 不定的アバウト $\mathcal{S}$-多様体および不定的計量を持つ $\mathcal{S}$-多様体の幾何学的および曲率的性質を分析すること。
• 特徴的ベクトル場の役割とリーマン接続の特性を特定すること。
• 不定的 $\mathcal{S}$-空間形式のリーマン曲率テンソルの明示的表現を $\varphi$-断面曲率に関して導出すること。
• スカラ型とタイムリー型の特徴的ベクトル場の数がバランスしている不定的 $\mathcal{S}$-多様体における断面曲率を調査すること。
• 特徴的ベクトル場の因果的タイプが異なる6次元および4次元の不定的 $\mathcal{S}$-多様体の具体例を構築し、それらを分析すること。

提案手法

• 接続 $\varphi$、計量 $g$、特徴的ベクトル場 $\xi_\alpha$ 間の整合性条件を用い、リーマン接続を用いる。
• 基本的恒等式 $\varphi^3 + \varphi = 0$ を適用し、接束を $\operatorname{Im}\varphi$ と $\ker\varphi$ に分解し、$\varphi$ が $\operatorname{Im}\varphi$ 上に複素構造を誘導することを示す。
• 曲率恒等式 $g(R(\varphi X,\varphi Y,\varphi Z),\varphi W) = g(R(X,Y,Z),W)$ を用い、$\varphi$-作用下での曲率の関係を関係づける。
• テンソル $H_p(X,Y)$ に依存する $\varphi$-断面曲率の式を導出する。ここで $H_p$ は計量と $\mathfrak{D}$ 内のベクトルへの $\varphi$-作用に依存する。
• 計量から計算されたクリストッフェル記号を用い、特に $R(X,\varphi X,X)$ の曲率成分を評価することで $H(X)$ を決定する。
• 不定的 $\mathcal{S}$-空間形式のリーマン曲率テンソルが、式 (14) を用いて $\varphi$-断面曲率 $c$ のみに依存して完全に決定されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン接続と特徴的ベクトル場は、不定的アバウト $\mathcal{S}$-多様体の曲率構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 $\varphi$-断面曲率は、不定的 $\mathcal{S}$-多様体における全断面曲率をどのように決定するか？
• RQ3 定数 $\varphi$-断面曲率を持つ不定的 $\mathcal{S}$-空間形式のリーマン曲率テンソルの明示的形は何か？
• RQ4 スカラ型とタイムリー型の特徴的ベクトル場の数がバランスしている不定的 $\mathcal{S}$-多様体が、$\varphi$-断面曲率がゼロである $\mathcal{S}$-空間形式となる条件は何か？
• RQ5 特徴的ベクトル場の因果的タイプが混合である不定的 $\mathcal{S}$-多様体の具体例を構築できるか？また、それらの曲率的性質は何か？

主な発見

• $\varphi$-断面曲率は、不定的アバウト $\mathcal{S}$-多様体における断面曲率を完全に決定する。
• 不定的 $\mathcal{S}$-空間形式のリーマン曲率テンソルの明示的公式が導出され、これは $\varphi$-断面曲率 $c$ と計量構造のみに依存することが示された。
• 1つのスカラ型と1つのタイムリー型の特徴的ベクトル場（$\varepsilon_1 = 1$, $\varepsilon_2 = -1$）を持つ4次元ローレンツ例では、$\varphi$-断面曲率 $c$ がゼロである。
• 4次元例の曲率テンソルは、$c=0$ の式 (14) によって完全に決定され、その結果得られるテンソルはゼロでないため、$\ker\varphi$ 方向に非自明な曲率が存在することが示された。
• 一般にテンソル $Q$ はゼロではない。実際、$Q(\xi_\alpha, Y; \xi_\beta, W) = -\varepsilon_\alpha\varepsilon_\beta g(W, \varphi Y)$ であるため、特徴的場からの非自明な曲率寄与が示された。
• ベクトル $X = \partial_x - y\xi_1 - y\xi_2$ に対する $H(X)$ の計算により $H(X) = 0$ が得られ、$\varphi$-断面曲率がゼロであることが確認された。これにより、$c=0$ の不定的 $\mathcal{S}$-空間形式であることが示された。