[論文レビュー] Curvature of almost Hermitian manifolds and applications

Chengjie Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所的準正則フレームを導入し、ケーリー接続に基づく曲率公式を、ハーミート多様体におけるものと類似する形で、ほぼハーミート多様体に対して導出する。この公式を用いて、ウーとジェングの結果をほぼハーミート幾何学へと拡張し、コンパクトなほぼ複素多様体の積上での非正の正則バイセクショナル曲率を持つ場合、計量が積計量と正則(2,0)-形式成分の和に分解されることを示す。また、このような計量の空間の余次元に関する明確な公式を導出する。

ABSTRACT

In this paper, by introducing a notion of local quasi holomorphic frame, we obtain a curvature formula for almost Hermitian manifolds which is similar to that of Hermitian manifolds. Moreover, as applications of the curvature formula, we extend a result of H.S. Wu and a result of F. Zheng to almost Hermitian manifolds.

研究の動機と目的

• 局所的準正則フレームという新しい概念を用いて、ほぼハーミート多様体の曲率公式を構築すること。
• ハーミート幾何学から既知の正則バイセクショナル曲率に関する結果を、ほぼハーミート幾何学へと拡張すること。
• コンパクトなほぼ複素多様体の積上での非正の正則バイセクショナル曲率を持つほぼハーミート計量を分類すること。
• Zheng と著者の曲率退化計量に関する結果を、ほぼ複素設定へと一般化すること。
• このような計量の空間の、積空間における実余次元を特定すること。

提案手法

• ほぼハーミート多様体の標準接続に適合する局所的準正則フレームを導入する。
• このフレームを用いて、標準接続の曲率公式を導出し、曲率テンソルを計量の二階微分および接続項で表現する。
• 曲率公式を用いて、計量の加法性に関する曲率形式の下界不等式（下界性）を証明する。
• 曲率公式と正則形式の分解を組み合わせ、積多様体上での非正の正則バイセクショナル曲率を持つ計量を分類する。
• 各因子からの正則(1,0)-形式の外積として、積上での正則(2,0)-形式の分解を用いる。
• 個々の計量空間の積に対するこのような計量の空間の相対的性質を解析することで、余次元公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーミート多様体における古典的公式と類似する、ほぼハーミート多様体の曲率公式を導出できるか？
• RQ2 計量の加法性の下で、正則バイセクショナル曲率の下界性は、ほぼハーミート設定でも成立するか？
• RQ3 コンパクトなほぼ複素多様体の積上での、非正の正則バイセクショナル曲率を持つほぼハーミート計量の構造はいかなるものか？
• RQ4 各因子に正則(1,0)-形式が存在する場合、その存在がこのような計量の形にどのような制約を課えるか？
• RQ5 積多様体上での非正曲率計量の空間の、個々の計量空間の積に対する実余次元は何か？

主な発見

• 局所的準正則フレームを用いて、ほぼハーミート多様体の標準接続の曲率公式が確立され、ハーミートの場合の一般化が達成された。
• この曲率公式により、計量の和の正則バイセクショナル曲率が、個々の曲率の和によって上から抑えられることが示された。
• コンパクトなほぼ複素多様体の積上での、非正の正則バイセクショナル曲率を持つ任意のほぼハーミート計量は、積計量と、正則(2,0)-形式から来る閉じた(1,1)-形式の和に分解される。
• 両因子が非自明な正則(1,0)-形式を有する場合、このような計量の空間の実余次元は、積空間における $ 2\dim H^{1,0}(M) \cdot \dim H^{1,0}(N) $ に正確に一致する。
• 一方の因子が非自明な正則(1,0)-形式を有さない場合、任意のこのような計量は積計量に限られる。
• この結果により、 Zheng が複素積多様体上の計量を分類した結果が、ほぼ複素設定へと一般化された。