[論文レビュー] Curvature of higher direct image sheaves and its application on negative-curvature criterion for the Weil-Petersson metric

Xu Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は複素幾何における高次直接像層の曲率正性基準を確立し、Kählerな全空間𝒳上のベクトル bundle E が q-半正であると仮定すると、K𝒳/B ⊗ E の q-次直接像が Griffiths-半正であることを証明する。主な応用として、正則に偏極されたまたは Calabi-Yau 多様体の族の底多様体上での Weil-Petersson 距離の負曲率基準が得られる。

ABSTRACT

We shall show that $q$-semipositivity of the vector bundle $E$ over a Kähler total space $\mathcal X$ implies the Griffiths-semipositivity of the $q$-th direct image of $\mathcal O(K_{\mathcal X/B}\otimes E)$. As an application, we shall give a negative-curvature criterion for the generalized Weil-Petersson metric on the base manifold.

研究の動機と目的

• 複素多様体の族における高次直接像層の曲率正性基準を確立すること。
• ベクトル bundle E の q-半正性を用いて、既知の調和 bundle の曲率結果を高次コホモロジー群へ拡張すること。
• 曲率結果を応用し、正則に偏極されたまたは Calabi-Yau 多様体の族の底空間上での Weil-Petersson 距離の負曲率基準を導出すること。
• 直接像 bundle の曲率公式を用いて、Weil-Petersson 距離が負に曲がるための幾何的条件を提供すること。
• ∂̄-方程式とホッジ理論を用いて、高次直接像の曲率正性を組み込むことにより、従来の Weil-Petersson 距離に関する結果を一般化すること。

提案手法

• Newlander-Nirenberg の定理と Kodaira-Spencer の定理を用いて、調和形式の層 H^{n,q}(E_t) 上に正則ベクトル bundle 構造を構成する。
• 直接像 bundle H^{n,q} 上のチャーン接続と曲率公式を適用し、∂̄-方程式と調和射影を用いて曲率作用素 Θ_{j k} を計算する。
• 全空間上の Kähler 形式 ω に関して、曲率 Θ(E,h) の q-半正性の概念を導入し、ω^q/q! との外積を用いて定義する。
• ∂̄-ノイマン問題と L^2 評価を用いて H^{n,q} の曲率に対する一般化された ∂̄-方程式を導出し、曲率と調和代表元を結びつける。
• 相対正則バンドル K𝒳/B の場合に曲率公式を適用し、Θ(E,h) の q-半正性が H^{n,q} の Griffiths-半正性を意味することを示す。
• Kodaira-Spencer 写像と写像 v ↦ κ(v) の正則性を用いて、曲率条件のもとで Weil-Petersson 距離の対数ノルムが擬上への正則性（または恒等的に −∞）を示し、距離の負曲率を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler 全空間 𝒳 上の正則ベクトル bundle E の曲率にどのような条件を課すと、K𝒳/B ⊗ E の q-次直接像が Griffiths-半正になるか？
• RQ2 全空間 𝒳 上の Kähler 形式 ω に関して、Θ(E,h) の q-半正性は直接像 bundle H^{n,q} の曲率とどのように関係するか？
• RQ3 高次直接像の曲率正性を用いて、正則に偏極されたまたは Calabi-Yau 多様体の族のモジュライ空間上での Weil-Petersson 距離の負曲率を確立できるか？
• RQ4 H^{n,q} バンドルの曲率を、ファイバー構造を持つ複素多様体上で計算する際、∂̄-方程式と調和射影は果たす役割は何か？
• RQ5 H^{n,q} の Griffiths-半正性が Nakano-半正性を意味するのはどのような場合か？ そして、これは Weil-Petersson 距離の幾何にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 全空間 𝒳 上の Kähler 形式 ω に関して、曲率 Θ(E,h) が q-半正であれば、直接像バンドル H^{n,q} は Griffiths-半正である。
• さらに H^{n,q}_t = ker(∂^{E_t}) ∩ ker(∂^{E_t})^* という追加仮定のもと、バンドル H^{n,q} は Nakano-半正である。
• 相対正則バンドルの曲率が q-半正性条件を満たす場合、底多様体 B 上の Weil-Petersson 距離は負に曲がっている。
• B 上の任意の正則ベクトル場 v について、||v||_WP の対数ノルムは擬上への正則性（または恒等的に −∞）であり、これは Weil-Petersson 距離の負曲率を示唆する。
• Kodaira-Spencer 写像 v ↦ κ(v) は、T_B から H^{n,n-1} の双対への正則バンドル写像を定め、ホロモーフィック族における距離の曲率性質が保たれることを保証する。
• Weil-Petersson ノルムの上半連続正則化は局所的に有界であり、これは log||v||_WP の擬上への正則性、ひいては距離の負曲率を支持する。