[論文レビュー] Curvature of vector bundles and subharmonicity of Bergman kernels

Bo Berndtsson|ArXiv.org|May 23, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み付き $L^2$-正則関数空間の族に付随するベルグマン核が、厳密に擬強調正則的であることを示す。これは、正則セクションの無限ランクベクトルバンドルがナカノの意味で正の曲率を持つヘルミート計量を持つことによって証明される。この結果は正則ベクトルバンドルへ拡張可能であり、ハーツコーンの意味でアンピールな有限ランク正則ベクトルバンドル $V$ に対して、すべての $m \geq 0$ に対して $S^m(V) \otimes \det V$ が厳密に正のナカノ曲率を持つヘルミート計量を備える。これは、ベルグマン核の下調和性に関する先行結果を一般化し、アンピール性の新たな曲率基準を提供する。

ABSTRACT

In a previous paper, \cite{Berndtsson}, we have studied a property of subharmonic dependence on a parameter of Bergman kernels for a family of weighted $L^2$-spaces of holomorphic functions. Here we prove a result on the curvature of a vector bundle defined by this family of $L^2$-spaces itself, which has the earlier results on Bergman kernels as a corollary. Applying the same arguments to spaces of holomorphic sections to line bundles over a locally trivial fibration we also prove that if a holomorphic vector bundle, $V$, over a complex manifold is ample in the sense of Hartshorne, then $V\gr\det V$ has an Hermitian metric with curvature strictly positive in the sense of Nakano.

研究の動機と目的

• 重み付き空間族上の正則 $L^2$-セクションのベクトルバンドルの厳密なナカノ正の曲率を確立すること。
• 曲率結果の系としてベルグマン核の下調和性を導出すること。
• 正則ファイブレーションおよび射影バンドル上のラインバンドルへ曲率正の結果を拡張すること。
• ハーツコーンの意味でアンピールな正則ベクトルバンドル $V$ に対して、$S^m(V) \otimes \det V$ が厳密に正のナカノ曲率を持つヘルミート計量を備えることを証明すること。

提案手法

• 正則ベクトルバンドルの部分バンドルの曲率公式（グリフィス）を用い、部分バンドルの曲率を周囲いバンドルと第二基本形式に関連付ける。
• 第二基本形式の制御のため、$\bar{\partial}$-方程式に対するホルマンダーの $L^2$-評価を適用する。
• 局所的に自明なファイブレーションのファイバー上での $L \otimes K_{X_t}$ の正則セクションバンドル $E$ を構成し、標準的な $L^2$-計量を定義する。
• コンパクト多様体上のラインバンドルに対するコーディラ-・ナカノ-・ホルマンダー評価を用い、ファイブレーション設定での曲率を制御する。
• 射影バンドル上のラインバンドル $O_{\mathbb{P}(V)}(l)$ のチーン接続と曲率を解析し、$E(l)$ の曲率を $V$ の幾何に結びつける。
• $E(r) = \det V$ および $E(r+1) = V \otimes \det V$ であることに着目し、関連バンドルを特定し、曲率結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $t$ に関して、ベルグマン核関数 $K_t(z,z)$ は厳密に擬強調正則的か？
• RQ2 重み付き空間族上の正則 $L^2$-セクションのベクトルバンドルは、ナカノの意味で正の曲率を持つヘルミート計量を備えるか？
• RQ3 正のラインバンドル $L$ が局所的に自明な条件を満たす正則ファイブレーションに対して、$E = \Gamma(X_t, L|X_t \otimes K_{X_t})$ の曲率が正であることを確立できるか？
• RQ4 ハーツコーンの意味でアンピールな正則ベクトルバンドル $V$ に対して、$S^m(V) \otimes \det V$ はすべての $m \geq 0$ に対して、厳密に正のナカノ曲率を持つヘルミート計量を備えるか？

主な発見

• 重み付き空間族上の正則 $L^2$-セクションのベクトルバンドル $E$ は、ナカノの意味で正の曲率を持つヘルミート計量を備える。
• その結果、ベルグマン核関数 $K_t(z,z)$ はパラメータ $t$ に関して厳密に擬強調正則的である。
• 正のラインバンドル $L$ を持つ局所的に自明な正則ファイブレーションに対して、$L \otimes K_{X_t}$ の正則セクションのバンドル $E$ は厳密に正のナカノ曲率を持つ。
• ハーツコーンの意味でアンピールな正則ベクトルバンドル $V$ に対して、すべての $m \geq 0$ に対して $S^m(V) \otimes \det V$ は厳密に正のナカノ曲率を持つヘルミート計量を備える。
• $O_{\mathbb{P}(V)}(r) \otimes K_{\mathbb{P}(V^*_t)}$ の正則セクションのバンドル $E(r)$ は $\det V$ に同型であり、$E(r+1)$ は $V \otimes \det V$ に同型である。