[論文レビュー] Curvature Properties of Two Naveira Classes of Riemannian Product Manifolds

Dobrinka Gribacheva|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン積多様体のNaveiraクラス $\overline{\mathcal{W}}_3$ および $\overline{\mathcal{W}}_6$ における曲率性質を調査し、リーマンの $P$-テンソルとなるリーマン曲率テンソル $R$ となる条件に注目する。両クラスにおいて閉1次形式 $\theta$ を持つ場合、曲率テンソル $R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件は、$R$ が標準的テンソル $K$ に等しいことである。この関係は、共変微分 $\nabla P$ および関連するテンソリアル恒等式を用いて明示的な代数的特徴づけが得られる。

ABSTRACT

The main aim of the present work is to obtain some curvature properties of the manifolds from two classes of Riemannian product manifolds. These classes are two basic classes from Naveira classification of Riemannian almost product manifolds.

研究の動機と目的

• リーマンのほぼ積構造を持つ多様体の $\overline{\mathcal{W}}_3$ および $\overline{\mathcal{W}}_6$ クラスにおける曲率テンソルの性質を調査すること。
• これらのクラスにおいて、リーマン曲率テンソル $R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件を特定すること。
• $\nabla P$ に関連する1次形式 $\theta$ の役割と、その閉性が曲率構造に与える影響を分析すること。
• $\theta$、$\Omega$、および対称テンソル $A$ もしくは $A^\prime$ を用いた、曲率テンソルの代数的特徴づけを確立すること。

提案手法

• リーマンのほぼ積多様体のNaveira分類を $\nabla P$ を用いて用い、曲率の恒等式を導出する。
• テンソル $K$ を、$\overline{\mathcal{W}}_3$ に対して $K = R + \frac{1}{4n}\{ (\psi_1 - \psi_2)(A) - \frac{\theta(\Omega)}{2n}(\pi_1 - \pi_2) \}$ および $\overline{\mathcal{W}}_6$ に対して類似の形で定義される標準的リーマンの $P$-テンソルとして導入する。
• $\overline{\mathcal{W}}_3$ 多様体を特徴づけるために、$F(x,y,z) = \frac{1}{2n}\{ [g(x,y)+g(x,Py)]\theta(z) + [g(x,z)+g(x,Pz)]\theta(y) \}$ の条件を用いる。
• $\psi_1, \psi_2, \pi_1, \pi_2$ を用いたテンソリアル恒等式を適用し、曲率の対称性と $P$-構造との関係を明示する。
• テンソル $K$ のリッチテンソルおよびスカラー曲率を分析し、$\theta$、$\Omega$、$A$ もしくは $A^\prime$ を用いた明示的公式を導出する。
• $\theta$ が閉形式であるとき、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであることと $R = K$ であることが同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉1次形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_3$-多様体において、リーマン曲率テンソル $R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための条件は何か？
• RQ2 閉形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_3$-多様体において、テンソル $K$ と $R$ との関係は何か？
• RQ3 閉形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体において、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための代数的特徴づけは何か？
• RQ4 閉形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体において、テンソル $K$ のリッチテンソルおよびスカラー曲率は $\theta$、$\Omega$、$A^\prime$ にどのように依存するか？
• RQ5 $R = K$ のとき、4次元の $\overline{\mathcal{W}}_3$ および $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体における $R$ の明示的形は何か？

主な発見

• 閉1次形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_3$-多様体において、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件は、$A(y,z) = -\frac{\theta(\Omega)}{4n}\{ g(y,z) + g(y,Pz) \}$ である。ここで $A$ は $\nabla\theta$ から導かれるテンソルである。
• 閉1次形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_3$-多様体において、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件は、$R = K$ である。ここで $K$ は $A$ および $\theta(\Omega)$ を用いて定義される標準的テンソルである。
• 閉1次形式 $\theta$ を持つ4次元の $\overline{\mathcal{W}}_3$-多様体において、曲率テンソル $R$ は $R = \frac{1}{8}\{ \tau(\pi_1 + \pi_2) + \tau^*\pi_3 \}$ の形をとる。
• 閉1次形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体において、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件は、$A^\prime(y,z) = \frac{\theta(\Omega)}{4n}\{ g(y,z) - g(y,Pz) \}$ である。ここで $A^\prime$ は $\nabla\theta$ から導かれるテンソルである。
• 閉1次形式 $\theta$ を持つ $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体において、$R$ がリーマンの $P$-テンソルであるための必要十分条件は、$R = K$ である。ここで $K$ は $\overline{\mathcal{W}}_3$ の場合と同様に定義される。
• 閉1次形式 $\theta$ を持つ4次元の $\overline{\mathcal{W}}_6$-多様体において、曲率テンソル $R$ は $R = \frac{1}{8}\{ \tau(\pi_1 + \pi_2) + \tau^*\pi_3 \}$ の形をとり、$\overline{\mathcal{W}}_3$ の場合と一致する。