[論文レビュー] Curvatures of weighted metrics on tangent sphere bundles

Rui Albuquerque|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Advanced Differential Geometry Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体 $M$ の接球面バンドル $S_rM$ 上の重み付き計量の曲率公式を導出し、ササキ計量の一般化を行う。任意の有界な断面曲率を持つ $M$ と固定された半径 $r$ に対して、水平計量係数 $f_1$ が十分に大きい、または垂直係数 $f_2$ が十分に小さいとき、$S_rM$ に正のスカラー曲率が達成されることを確立し、接球面バンドルにおけるスカラー曲率の正の性質に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We determine the curvature equations of natural metrics on tangent bundles and radius r tangent sphere bundles S_rM of a Riemannian manifold M. A family of positive scalar curvature metrics on S_rM is found, for any M with bounded sectional curvature and any chosen constant r.

研究の動機と目的

• 接バンドルおよび半径-$r$ 接球面バンドル $S_rM$ の自然計量の曲率公式を一般化すること。
• $S_rM$ が正のスカラー曲率計量をもつための条件を調査すること。
• 接球面バンドルにおけるスカラー曲率の正の性質に関する既知の結果を、より広範なクラスの重み付き計量へと拡張すること。
• $S_1M$ 上の gwistor バンドルのホロノミーおよび幾何学的理解に向けた基礎的曲率計算を提供すること。

提案手法

• 計量係数 $f_1 = e^{2\varphi_1}$, $f_2 = e^{2\varphi_2}$ および $M$ 上の関数 $\varphi_1, \varphi_2$ を用いて、$TM$ 上の重み付き計量族 $g^{f_1,f_2} = f_1 \pi^*g \oplus f_2 \pi^*g$ を用いる。
• 曲率項 $A$, $B$, および $\nabla^*_{X}Y^v$ を組み込んだ修正接続 $\nabla^G$ を用いて、重み付き計量のリーマン接続を適用する。
• ガウスの公式を用いて、$S_rM$ の曲率を、埋め込まれた接バンドル $TM$ の曲率と、第二基本形式による法曲率を考慮して関連付ける。
• 周囲の曲率と誘導された計量構造を用いて、$S_rM$ のリッチ曲率およびスカラー曲率の明示的表現を導出する。
• 曲率成分の計算に、テンソル $\mathcal{R}^\xi(X,Y) = \pi^*R^\nabla(X,Y)\xi$ 及びその共変微分を用いる。
• ガウス方程式を適用して、$S_rM$ のリッチ曲率およびスカラー曲率と周囲計量 $g^{f_1,f_2}$ の差を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量係数 $f_1$ および $f_2$ がどのような条件下で、接球面バンドル $S_rM$ が正のスカラー曲率計量をもつのか。
• RQ2 $TM$ 上の重み付き計量の曲率公式が、部分多様体 $S_rM$ にどのように拡張されるか。
• RQ3 任意の有界な断面曲率を持つリーマン多様体 $M$ に対して、$S_rM$ のスカラー曲率を正にすることができるか。
• RQ4 関数 $\varphi_2$ が $S_rM$ のスカラー曲率を制御する上で果たす役割は何か。
• RQ5 曲率 $S_rM$ は半径 $r$ および重み付き計量の選択にどのように依存するか。

主な発見

• 任意の有界な断面曲率を持つリーマン多様体 $M$ と固定された半径 $r$ に対して、$f_1$ が十分に大きい、または $f_2$ が十分に小さいとき、接球面バンドル $S_rM$ は正のスカラー曲率計量をもつ。
• $S_rM$ のスカラー曲率は $\tilde{S}^G = S^G + \frac{(n-1)n}{f_2 r^2}$ で与えられ、ここで $S^G$ は $TM$ 上の周囲計量のスカラー曲率であり、$n = \dim M - 1$ である。
• $S_rM$ のリッチ曲率は $\tilde{\mathrm{ric}}^G = \mathrm{ric}^G + \frac{n-1}{r^2}g|_{V \otimes V}$ を満たし、球面ファイバーからの補正項が現れる。
• 次元が 2 の場合（$\dim M = 2$）、$TM$ と $S_rM$ のリッチ曲率およびスカラー曲率は重み付き計量のもとで一致する。
• $f_1$ が定数で $f_2 = e^{2\varphi_2}$ のとき、曲率公式は $\varphi_2$ の共変微分および $M$ の曲率テンソルに依存する。
• この結果は [6] の定理 1.2 を一般化し、$r$ が小さい場合の正のスカラー曲率を確認するとともに、より広範なクラスの重み付き計量へと拡張する。