[論文レビュー] Curve Flows and Solitonic Hierarchies Generated by (Semi) Riemannian Metrics

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミックな接バンドル上の曲線フローを通じて、(半)リーマン計量とソリトン階層を幾何的枠組みで結びつける。非ホロノミックな接バンドル上での曲線フローを通じて、(半)リーマン計量とソリトン階層を幾何的枠組みで結びつける。標準的な非線形接続、ササキ型計量、定曲率成分を有する計量-compatibleなd接続を構成することにより、mKdVおよびサイン・ゴルドン型方程式を生成する双ハミルトニアン構造を導出。これは、接バンドル上での非ホロノミックな波マップおよびシュレーディンガー・マップの類似物によって実現される。

ABSTRACT

We investigate bi-Hamiltonian structures and related mKdV hierarchy of solitonic equations generated by (semi) Riemannian metrics and curve flow of non-stretching curves. The corresponding nonholonomic tangent space geometry is defined by canonically induced nonlinear connections, Sasaki type metrics and linear connections. One yields couples of generalized sine-Gordon equations when the corresponding geometric curve flows result in hierarchies on the tangent bundle described in explicit form by nonholonomic wave map equations and mKdV analogs of the Schrodinger map equation.

研究の動機と目的

• 任意の(半)リーマン計量に一般化して、定曲率空間にとどまらないソリトン階層を構築するため、幾何的曲線フロー形式を任意の(半)リーマン計量へ拡張すること。
• 定曲率成分を有する接バンドル上での標準的非線形接続および計量-compatibleなd接続を構築すること。
• 一般リーマン計量によって誘導される非ホロノミックな幾何的構造から、双ハミルトニアン作用素およびソリトン方程式を導出すること。
• mKdVおよびサイン・ゴルドン方程式が、接バンドル上での非ホロノミックな波マップおよびシュレーディンガー・マップの類似物からどのように導かれるかを示すこと。

提案手法

• 基底多様体M上の(半)リーマン計量g_ijを、非線形接続(N接続)構造を介して接バンドルTV上へのササキ型計量g_αβへと上げる。
• 計量整合性およびN接続に適合する係数L_jk^i, L_bc^a, C_jc^i, C_bc^aを有する標準的d接続を定義する。
• d接続の曲率成分(R_hjk^i, P_jka^i, S_bcd^a)が定数となる条件を課すことにより、可積分構造を可能にする。
• N接続に適したシンプレクティックおよびコシンプレクティック作用素を導出し、双ハミルトニアン形式に至らしめる。
• 非ホロノミックな波マップ方程式およびシュレーディンガー・マップ方程式のmKdV類似形を、曲線フローの支配方程式として構成する。
• N適応フレームおよびdテンソル微積分を用いて、曲率、リッチ曲率、スカラー曲率を水平成分および垂直成分の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の(半)リーマン計量から、定曲率空間に限らずソリトン階層を生成できるか？
• RQ2 任意の接バンドル上に、定曲率成分を保証する標準的非線形接続およびd接続をどのように構築できるか？
• RQ3 このような非ホロノミックな幾何的上昇から、どのような双ハミルトニアン構造が生じ、mKdVおよびサイン・ゴルドン方程式とどのように関係するか？
• RQ4 非ホロノミックな波マップおよびシュレーディンガー・マップの類似物が、接バンドル上での曲線フローからどのようにソリトン階層を生成するか？
• RQ5 曲率成分R_hjk^i, P_jka^i, S_bcd^aは、導出される曲線フロー系の可積分性において、どのように機能するか？

主な発見

• 本稿は、水平および垂直部分空間上でねじれがゼロである標準的d接続を接バンドルTV上に構築し、計量整合性を保証する。
• 任意のM上での(半)リーマン計量g_ijに対して、この枠組みは非線形接続およびササキ型計量を接バンドルTV上に誘導し、d接続の曲率成分が定数となるようにする。
• 得られる双ハミルトニアン作用素は、mKdVおよび一般化されたサイン・ゴルドン方程式を含むソリトン方程式の階層を生成する。
• 非ホロノミックな波マップ方程式およびシュレーディンガー・マップ方程式のmKdV類似形が、接バンドル上での非伸張曲線フローの支配方程式として明示的に導出される。
• スカラー曲率は水平部と垂直部に分解され、R = R_h + R_vと表され、R_h = g^ij R_ijおよびR_v = h^ab S_abである。
• この形式は、dim E ≥ dim M を満たす任意のベクトルバンドルEへと拡張可能であり、ソリトン階層が対称空間や特定の曲率タイプに制限されないことを示している。