[論文レビュー] Curve test for enhanced ind-sheaves and holonomic D-modules

Takuro Mochizuki|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コhomologically holonomic D-加群から生じる強化ind-層を特徴付ける曲線テスト基準を確立する。複素多様体上の実的可構造強化ind-層が、コhomologically holonomic D-加群の強化de Rham複体に同型であるための必要十分条件は、任意の正則曲線に沿った引き戻しも同様にそのような複体であることに帰着される。この結果により、不規則な正則的状況におけるRiemann-Hilbert対応が完成し、強化ind-層をD-加群に持ち上げるための幾何的基準が、曲線テストによって提供される。

ABSTRACT

Recently, the Riemann-Hilbert correspondence was generalized in the context of general holonomic D-modules by A. D'Agnolo and M. Kashiwara. Namely, they proved that their enhanced de Rham functor gives a fully faithfully embedding of the derived category of cohomologically holonomic complexes of D-modules into the derived category of complexes of real constructible enhanced ind-sheaves. In this paper, we study a condition when a complex of real constructible enhanced ind-sheaves $K$ is induced by a cohomologically holonomic complex of D-modules. We characterize such $K$ in terms of the restriction of $K$ to holomorphic curves.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の実的可構造強化ind-層がコhomologically holonomic D-加群から生じるための必要十分条件を特定すること。
• 強化de Rham関手の像の本質的像を特徴付けることにより、不規則な正則的状況におけるRiemann-Hilbert対応を一般化すること。
• 形式的または漸近的解析の代わりに、正則曲線を用いた幾何的持ち上げ基準を提供すること。

提案手法

• 任意の正則曲線に沿った引き戻しが強化de Rham関手の本質的像に属するような、実的可構造強化ind-層のフル部分カテゴリ $\mathsf{E}^b_\triangle(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ を定義する。
• 強化de Rham関手が6操作および双対性と可換であることを用い、問題を局所的な曲線テストに還元する。
• 曲線の引き戻しから抽出した分岐不規則値および重複度関数を用いて、特異点の近傍におけるメロモーフィック平坦バンドルを構成する。
• 強化ind-層の台の次元に関する帰納法を用い、問題を次元の低い部分に還元する。
• メロモーフィック平坦バンドルに対する完全かつ忠実なRiemann-Hilbert対応を用い、局所データをグローバルなD-加群に持ち上げる。
• カテゴリ $\mathsf{E}^b_\triangle(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ 上で解関手 $\mathop{\rm Sol}\nolimits^\mathsf{E}$ が同値であることを証明し、主要定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上の実的可構造強化ind-層がコhomologically holonomic D-加群の強化de Rham複体に同型であるのはいつか？
• RQ2 強化de Rham関手の本質的像は、正則曲線に沿った引き戻しを用いて幾何的に特徴付けられるか？
• RQ3 曲線テスト条件（任意の正則曲線に沿った引き戻しをとったとき、その像が本質的像に属する）が、元の層がD-加群から生じることを保証するのに十分か？
• RQ4 曲線データを用いて、コhomologically holonomic D-加群をその強化解複体から再構成することは可能か？
• RQ5 強化解関手は、曲線テストで定義されたカテゴリ上で完全かつ本質的に全射的か？

主な発見

• 曲線テスト条件によって定義されるカテゴリ $\mathsf{E}^b_\triangle(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ は、強化de Rham関手の本質的像 $\mathsf{E}^b_\mathcal{D}(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ と等しい。
• 強化解関手 $\mathop{\rm Sol}\nolimits^\mathsf{E}$ はカテゴリ $\mathsf{E}^b_\triangle(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ 上で同値であり、これはすべてのこのような強化ind-層がコhomologically holonomic D-加群から生じることを意味する。
• 曲線テスト条件は必要かつ十分である：層が本質的像に属するための必要十分条件は、すべての正則曲線に沿った引き戻しが本質的像に属することである。
• 証明は台の次元に関する帰納法を用い、問題を次元の低い部分に還元し、メロモーフィック平坦バンドルに対する完全かつ忠実なRiemann-Hilbert対応を用いる。
• 分岐不規則値および重複度を曲線の引き戻しから抽出することで、局所的なメロモーフィック平坦バンドルの構成が可能となり、グローバルなD-加群構造と整合性が保証される。
• すべての $K \in \mathsf{E}^b_\triangle(\mathrm{I}\mathbb{C}_X)$ に対して、自然な準同型 $\Phi_K: K \to \mathop{\rm Sol}\nolimits^\mathsf{E} \Upsilon^\mathsf{E}(K)$ が同型であることが確認され、強化de Rham関手の本質的全射性が裏付けられる。