[論文レビュー] Curves of genus 2 with group of automorphisms isomorphic to D_8 or D_12

Gabriel Cardona, Jordi Quer|ArXiv.org|Mar 17, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特性 ≠ 2（D₁₂ については ≠ 2,3）の完備体上での genus 2 曲線を、モジュライ空間 M₂ の1次元部分代数的群の k-有理点を用いて k-同型類でパラメトライズすることにより、自己同型群が D₈ または D₁₂ であるものについて分類する。Galoisコホロロジー H¹(Gₖ, Aut(C)) を用いてすべての k--twist を計算し、体パラメータに依存する一般型双曲的モデルを提供し、ℚ 上では、このような曲線の楕円曲線商がそれぞれ次数 2（D₈ の場合）および 3（D₁₂ の場合）の ℚ-曲線であることが示され、ヤコビアンが GL₂-型であるのは、絶対不変量が特定のコホロロジー的条件を満たす場合に限る。

ABSTRACT

In this paper we classify curves of genus 2 with group of automorphisms isomorphic to D_8 or D_12 over an arbitrary field k (of characteristic different from 2 in the D_8 case and from 2 and 3 in the D_{12} case) up to k-isomorphism. As an application of the classification of curves of genus 2 obtained, we get precise arithmetic information on their elliptic quotients and on their jacobians. Over the field k=Q, we show that the elliptic quotients of the curves with automorphisms D_8 and D_{12} are precisely the Q-curves of degrees 2 and 3, respectively, and we determine which curves have jacobians of GL_2-type.

研究の動機と目的

• 代数閉体上での既存の分類を拡張し、完備体 k 上で自己同型群が D₈ または D₁₂ である genus 2 曲線を分類すること。
• モジュライ空間 M₂ の1次元準アフィン部分多様体の k-有理点を用いて、このような曲線の k-同型類をパラメトライズすること。
• Galoisコホロロジー集合 H¹(Gₖ, Aut(C)) を明示的に決定することで、各曲線のすべての k--twist を計算すること。
• 具体的な算術的考察を可能にするために、GL₂(k̄) 内の自己同型群の行列表現と明示的な双曲的モデルを提供すること。
• ℚ 上でヤコビアンが GL₂-型であるような曲線を特定し、その楕円曲線商がそれぞれ次数 2（D₈ の場合）および 3（D₁₂ の場合）の ℚ-曲線であることを同定すること。

提案手法

• モジュライ空間 M₂ の1次元準アフィン部分多様体の k-有理点を用いて、自己同型群が D₈ または D₁₂ である genus 2 曲線の k-同型類をパラメトライズする。
• 自己同型群を GL₂(k̄) の部分群として表現し、Galois降下を用いて k-構造を分類する。
• H¹(Gₖ, GL₂(k̄)) が自明であるという事実を用いて、Galoisコホロロジー集合 H¹(Gₖ, Aut(C)) を計算し、各曲線のすべての k--twist を分類する。
• 縮約自己同型群 A′ = Aut(C)/⟨ι⟩ と双曲的対合 ι を含むコホロロジーの長完全列を用いて、H¹(Gₖ, Aut(C)) の構造を分析する。
• パラメータに依存する k 上の明示的双曲的モデル Y² = F(X) を構成し、すべての k-同型類を実現する。
• 制限スカラーの普遍性およびコホロロジー的基準（例：Br₂(ℚ) 内の (h,2) および (w,−1) 群）を用いて、ヤコビアンおよび楕円曲線商を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 ≠ 2,3 の完備体 k 上の genus 2 曲線で、自己同型群が D₈ または D₁₂ に同型であるものはどれか？ そして、それらは k 上どのようにパラメトライズ可能か？
• RQ2 Galoisコホロロジー H¹(Gₖ, Aut(C)) を用いて、このような曲線のすべての k--twist をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 ℚ 上で、ヤコビアンが GL₂-型であるのはどの曲線か？ また、その楕円曲線商の算術的構造はどのようなものか？
• RQ4 このような曲線の楕円曲線商は ℚ-曲線とどのように関係し、それぞれの次数は何か？
• RQ5 特定の体 K(√−2) が、コホロロジー的条件が満たされているにもかかわらず、D₈-曲線のヤコビアンの自己準同型体に現れないのはなぜか？

主な発見

• 自己同型群が D₈ または D₁₂ に同型である任意の曲線 C/k に対して、k-同型類は M₂ の1次元準アフィン部分多様体の k-有理点によってパラメトライズ可能である。
• このような曲線のすべての k--twist はコホロロジー集合 H¹(Gₖ, Aut(C)) を用いて計算され、この集合の構造は A′ と ⟨ι⟩ を含む長完全列を用いて分析されている。
• ℚ 上では、自己同型群が D₈ に同型である曲線の楕円曲線商は、ちょうど次数 2 の ℚ-曲線であり、D₁₂ に同型である場合は次数 3 の ℚ-曲線である。
• ℚ 上のこのような曲線のヤコビアンが GL₂-型であるのは、絶対不変量 t が (t, −2) = 1 を満たし、かつ Aut(C) 上の Galois作用がタイプ C₄ である場合に限る。
• 四次体 K 上の次数 2 または 3 の楕円曲線 E に対して、制限スカラー Res_{K/ℚ}(E) は、ℚ 上で、自己準同型環が ℚ(√−1) または ℚ(√−3) である、非同型な GL₂-型のアーベル曲面の積に、アイソジェニーの意味で分解する。
• K(√−2) は、ℚ 上の D₈-曲線のヤコビアンの自己準同型体に現れない。これは、対応する 2-コサイクルが Ext(K/ℚ, {±1}) に属していないためであり、GL₂-型因子の存在が妨げられる。